**不等式の形(構造)**
## Japanese Translation:
記事は、直感的で図式的な証明を提供する具体的な幾何学構成とともに、いくつかの古典的代数的不等式を提示しています。
1. **2 つの正の数 \(a,b\) に対する HM–AM–GM–QM の連鎖**
\[
\frac{2}{\tfrac1a+\tfrac1b}\;\le\; \sqrt{ab}\;\le\;\frac{a+b}{2}\;\le\;\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\ .
\]
*構成*: 直径が \(a\) と \(b\) の外接円を 2 個作り、右三角形 \(OPO'\) を形成します。
- 斜辺 \(OO'=\tfrac{a+b}{2}\)(AM)。
- 水平の脚 \(OP=\tfrac{a-b}{2}\)。
- 垂直の脚 \(O'P=\sqrt{ab}\)(GM)。
この三角形の高さが HM を与え、中心点から垂直を引くと QM が得られます。
2. **半円構成**
直径 \(a+b\) の半円には、脚が \(\tfrac{a+b}{2}\)(AM)および \(\sqrt{ab}\)(GM)の右三角形が含まれています。 半径を足して斜辺を作ると QM が得られ、上端点を底に射影すると HM 区間が生成されます。
3. **「コンテナ」証明による AM–GM**
側長 \((a+b)/2\) の正方形は、周囲長が固定された任意の \(a,b\) 辺を持つ長方形を収容します。 正方形は常に「水」を少なくとも同じ量保持するため、その面積 \(((a+b)/2)^2\) は \(ab\) 以上であり、
\[
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}
\]
が得られます。
4. **三次元一般化**
側長 \((a+b+c)/3\) の立方体は、辺 \(a,b,c\) を持つ任意の直方体を含みます。 これにより不等式
\[
\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}
\]
が得られ、すなわち三数に対して算術平均は幾何平均以上であることが示されます。
5. **二乗和不等式**
側長 \(a,b,c\) の隣接する 3 個の正方形は、それぞれ領域 \(ca,\,ab,\) および \(bc\) を持つ長方形を形成します。 これらを合計すると
\[
a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge ab+bc+ca
\]
が得られます。
6. **Nesbitt の不等式**
高さ \(h\) を持つ正三角形で、内部点 \(Q\) が辺への距離を \(x,y,z\) とするとき、
\[
a=y+z,\; b=x+z,\; c=x+y
\]
となります。 ヴィヴィアーニの定理より \(x+y+z=h\)。 これを
\[
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
\]
に代入すると不等式
\[
\frac{h-x}{\,h+x\,}+\frac{h-y}{\,h+y\,}+\frac{h-z}{\,h+z\,}\;\ge\;\tfrac32
\]
が得られ、\(Q\) が重心の場合に等号が成立します。
これらの幾何学的イラストレーションは抽象的な代数的不等式を視覚的証明へと変換し、学生や教育者にとってよりアクセスしやすくするとともに、幾何学と代数学との深い結びつきを際立たせます。