「二つの頭（＝複数の視点）が一つより優れているのでしょうか？」

3 人の頭は確かにもっと楽しい
2025 年 12 月 9 日

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あなたは、嘘つきの友人アリスとボブとゲームをしています。

ボブがコインを投げてアリスに見せます。アリスはそれを見た結果を教えてくれますが、20 % の確率で嘘をつきます。その後、あなたはコインが表か裏かを推測します。

最善の戦略は「アリスが言ったことを信じる」ことです。そうすると 80 % 正解できます。

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ところでボブも参加します

彼はアリスとは独立に決め、同様に 20 % の確率で嘘をつきます¹

1. あなたの友人たちはすべて嘘つきです！

「アリスを信じる」だけで 80 % 正解できました。
ボブの助けがあれば、どれだけ改善できるでしょうか？

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空白（自分で考えてみてください）

以下に答えを書きますので、自分で計算してみてください。

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数学的に検証

実際にシミュレーションを行います。コインを 100 万回投げ、友人たちが言ったことを記録し、結果を観察します。

戦略：
「ある事実パターン（例：『アリスは表と言った』）に対して最も確率の高い結論（コインは表か裏か）を選びます」²

1. ボブとアリスが独立に決め、敵対的ではない場合、「最も確率が高い結果」を推測することは最適です。
   ただしゲームが敵対的であればもっと難しい問題になるかもしれません。

以下はシミュレーションコード（Python）です。まず簡単なケース（アリスだけ）のみを扱います：

# heads.py

from random import random
from collections import defaultdict

table = defaultdict(lambda: [0, 0])
LYING_PROB = 0.2
LYING_FRIENDS = ["Alice"]
ITERATIONS = 1_000_000

for _ in range(ITERATIONS):
    is_heads = random() > 0.5
    keys = []
    for lying_friend in LYING_FRIENDS:
        lied = random() < LYING_PROB
        answer = None
        if is_heads: answer = "T" if lied else "H"
        else: answer = "H" if lied else "T"
        keys.append(f"{lying_friend[0]}:{answer}")

    key = ", ".join(keys)

    table_idx = 0 if is_heads else 1
    table[key][table_idx] += 1

total_times_we_are_right = 0
for key, (times_heads, times_tails) in table.items():
    total = times_heads + times_tails
    heads_chance = 100 * round(times_heads / total, 2)
    tails_chance = 100 * round(times_tails / total, 2)
    pattern_chance = 100 * round(total / ITERATIONS, 2)

    print(f"{key} - chances -  H {heads_chance:4}% | T {tails_chance:4}% | occurs {pattern_chance}% of the time")

    # We look at key, and guess whichever outcome is more likely. So we're right, on average,
    # the max of times_heads and times_tails
    total_times_we_are_right += max(times_heads, times_tails)

accuracy = round(total_times_we_are_right / ITERATIONS, 2)
print(f"\nOur accuracy: {100*accuracy}%")

実行結果は次のようになります：

A:T - chances -  H 20.0% | T 80.0% | occurs 50.0% of the time
A:H - chances -  H 80.0% | T 20.0% | occurs 50.0% of the time

Our accuracy: 80.0%

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ボブを加えるとどうなる？

ボブも同じ確率で嘘をつくので、以下のような結果になります：

A:T, B:T - chances -  H  6.0% | T 94.0% | occurs 34.0% of the time
A:H, B:T - chances -  H 50.0% | T 50.0% | occurs 16.0% of the time
A:H, B:H - chances -  H 94.0% | T  6.0% | occurs 34.0% of the time
A:T, B:H - chances -  H 50.0% | T 50.0% | occurs 16.0% of the time

Our accuracy: 80.0%

ちょっと不思議に見えるでしょう。実際には、ボブが参加することで「引き分け」―つまりアリスとボブが異なる答えを出すケース―が生まれます。

• 多くの場合（約 94 %）は両者が同じ答えを言い、ほぼ確実に真実です。
• しかし時折（32 %程度）はアリスとボブが対立します。この場合は情報がまったく無いので、ランダムに推測するしかありません。

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「Go Ask Alice」についての疑問

中学校で「Go Ask Alice」を読んだ経験はありますか？
以下で詳細を示し、計算を再確認しましょう。

コインが表だった場合の各ケース

事象	アリスの行動	ボブの行動	発生確率	推測正解率
両者真実	H (80 %)	H (80 %)	(0.8 \times 0.8 = 64%)	100 %
両者嘘	T (20 %)	T (20 %)	(0.2 \times 0.2 = 4%)	0 %
アリス真実、ボブ嘘	H (80 %)	T (20 %)	(0.8 \times 0.2 = 16%)	50 %
アリス嘘、ボブ真実	T (20 %)	H (80 %)	(0.2 \times 0.8 = 16%)	50 %

合計正解確率は
(64% + \frac{16}{2}% + \frac{16}{2}% = 80%)。

つまり、ボブが同意したときの追加情報は、対立したときの不利なケースで完全に打ち消されます。

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チャーリー（そしてデイビッド）の登場

さらにチャーリー（嘘率 20 %）を加えると、対立が解消できるため精度が向上します：

A:H, B:H, C:H - chances -  H 98.0% | T  2.0% | occurs 26.0% of the time
A:T, B:T, C:T - chances -  H  2.0% | T 98.0% | occurs 26.0% of the time
A:T, B:H, C:H - chances -  H 80.0% | T 20.0% | occurs 8.0% of the time
...（他の組み合わせも同様に計算）
Our accuracy: 90.0%

しかしデイビッドをさらに加えると、偶数人数の場合は「2‑2」の引き分けが生じ、精度は再び 90 % に戻ります。
つまり、友人の人数が奇数なら精度向上しますが、偶数に増やすと改善しません。

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この現象には名前がありますか？

私の知る限り、特定の名前はありません。しかし投票理論では類似した概念が存在します。
Condorcet の陪審員定理（Jury Theorem）は、以下を述べています：

規模 N の独立な投票者がいて、それぞれ正解に賛成する確率 (P > 0.5) のとき、過半数で決定すると、N を増やすほど正しい決定を下す確率は 100 % に近づく。

この理論の証明では「偶人数の場合」について特別に扱わないことが多いです。なぜなら、偶人数だと過半数が存在せず情報量が増えないからです。

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なぜ書いたか

私はより複雑な問題をシミュレートしている途中でこの結果に遭遇しました。最初はコードのバグだと思っていましたが、手計算で検証すると驚くべき結論にたどり着きました。

賭け事では「情報量が増えるほど期待値も上がる」と直感的に思いがちですが、投票のような二項決定問題ではそうはならないという点が興味深かったです。

実際、この話題を The Recurse Center（プログラマー向け作家リトリート）で友人と議論したこともあります。もしこのブログに興味を持たれたら、ぜひご応募ください！

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