**WebAssembly向けにRustで固有値ソルバーを実装する** - **目的:** Rust を用いて堅牢な固有値ソルバーを実装し、WebAssembly（WASM）へコンパイルしてブラウザ上で効率的に動作させること。 - **主要手順:** 1. 数値アルゴリズムの選定または実装（例：QR アルゴリズム、べき乗法など）。 2. 必要に応じて `no_std` を使用しつつ Rust でコアロジックを記述。 3. `wasm-pack` または `cargo build --target wasm32-unknown-unknown` を用いて WebAssembly にコンパイル。 4. JavaScript との相互運用のために `#[wasm_bindgen]` を使って関数をエクスポート。 5. ブラウザ環境でテストとベンチマークを実施。

2025年12月31日 – RustでWebAssembly向け固有値ソルバーを実装する

最近、ゲーシュゴリン円定理（Gershgorin Circle Theorem）に出会い、インタラクティブな可視化に最適だと感じました。
しかし私はウェブ開発者ではなく、JavaScriptもあまり好きではありません。そのため、上記のインタラクティブコンポーネントで行われる固有値計算は Rust で書き、WebAssembly にコンパイルし、HTML と JavaScript でラップしています。

免責事項 – 本投稿と Rust コードは私自身が作成したもので、講義ノートや他言語のリファレンス実装を参照しながら書きました。HTML・CSS・JavaScript は LLM が生成しました。すべてのミスは私にあります。

1. ゲーシュゴリン円定理

この定理は、行列の固有値が複素平面上でどこに存在するかを、その行列だけから簡単に推測できることを示します。

(A) を (n \times n) の複素行列とします。
各行 (i) に対して：

• 中心 (c_i = a_{ii})
• 半径 (r_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}|)

ゲーシュゴリン円は [ D(c_i,r_i)={z\in\mathbb C : |z-c_i| \le r_i}. ]

ゲーシュゴリン円定理
(A) のすべての固有値は、集合 (\bigcup_{i=1}^n D(c_i,r_i)) 内に入ります。

もし (A) が実対称行列ならば、全固有値は実数であり、円は実軸上の閉区間へと縮約します。

2. 例

[ [ 2 , -1 , 0 ],
  [ 1 ,  1 , 0 ],
  [ 0 ,  0 , 5 ] ]

固有値: ({\frac{3\pm i\sqrt{3}}{2},,5})。
ゲーシュゴリン円: (D(2,1), D(1,1), D(5,0))。

複素共役対は最初の二つの円の境界に位置し、実固有値は 5 における退化円と一致します。

別例 – 4次ハダマード行列：

[ [ 1 , -1 ,  1 , -1 ],
  [ 1 , -1 , -1 ,  1 ],
  [ 1 ,  1 , -1 , -1 ],
  [ 1 ,  1 ,  1 ,  1 ] ]

固有値: ({\pm\sqrt2 \pm i\sqrt2})。

3. QR 固有値アルゴリズム

QR アルゴリズムは、類似変換を QR 分解で反復適用し、収束するまで続けます。

(A_k) が与えられたとき、 [ A_{k+1}=R_k Q_k,\quad A_k=Q_k R_k. ]

この列は、対角成分が固有値となる上三角行列へ収束します。
単純実装では収束が遅く、非対称行列（例えば置換行列）に対して失敗します。

4. Rustでの実装

4.1 複素数

Rust には組み込みの複素型がないため、自前で定義します：

#[wasm_bindgen]
#[derive(PartialEq, Clone, Copy)]
pub struct Complex {
    pub re: f64,
    pub im: f64,
}

加算・減算・乗算・除算・ノルム（

f64::hypot

4.2 円型

#[wasm_bindgen]
#[derive(PartialEq, Debug)]
pub struct Circle {
    pub centre: Complex,
    pub radius: f64,
}

contains(&self, z: Complex) -> bool

4.3 行列型

行列は row-major 配列で保存します：

#[wasm_bindgen]
#[derive(Clone)]
pub struct Matrix {
    order: usize,
    entries: Vec<Complex>,
}

主なメソッド：

• new(order, entries)

  – コンストラクタ。

• get(row, col)

  ,

  set(row, col, val)

• zero(order)

  ,

  eye(order)

• 演算は演算子オーバーロード（

  Add

  ,

  Sub

  ,

  Mul

  ）で実装。

• gershgorin_circles()

  は

  Vec<Circle>

  を返す。

• qr_decomposition()

  は Gram–Schmidt を実装。

• hessenberg_reduction()

  は Householder 反射を使用。

4.4 シフト付き QR アルゴリズムと減算法

最終的な実装は以下のようになります：

#[wasm_bindgen]
pub fn qr_algorithm(&self, max_iter: u64, tol: f64) -> Vec<Complex> {
    let mut n = self.order;
    let mut eigvals = vec![Complex::zero(); n];
    let mut a_k = self.clone().hessenberg_reduction();

    for _ in 0..max_iter {
        if a_k.get(n-1, n-2).norm() <= tol {
            n -= 1;
            eigvals[n] = a_k.get(n, n);
            a_k = a_k.deflate(n);
        }
        if n == 1 { eigvals[0] = a_k.get(0,0); break; }

        // trailing 2x2 ブロックの固有値
        let (mu_1, mu_2) = {
            let (a,b,c,d) = (
                a_k.get(n-2,n-2),
                a_k.get(n-2,n-1),
                a_k.get(n-1,n-2),
                a_k.get(n-1,n-1)
            );
            let trace = a + d;
            let det   = a*d - b*c;
            let disc  = (trace*trace)/Complex::real(4.0) - det;

            (
                trace/Complex::real(2.0) + disc.sqrt(),
                trace/Complex::real(2.0) - disc.sqrt()
            )
        };

        if n == 2 { eigvals[0] = mu_1; eigvals[1] = mu_2; break; }

        let a_nn = a_k.get(n-1,n-1);
        let s_k = if (mu_1-a_nn).norm() < (mu_2-a_nn).norm() {
            mu_1
        } else { mu_2 };

        let shift  = Matrix::eye(n).scalar_mul(s_k);
        let (q,r)  = (&a_k - &shift).qr_decomposition();
        a_k = &(&r * &q) + &shift;
    }
    eigvals
}

5. 補足事項

• デバッグ –

  dbg!

  ,

  #[test]

  を活用すると簡単に検証できます。
• ゼロコスト抽象化 – クローンは多くの場合不要です。借用チェッカーとイテレータで割り当てを減らせます。
• デフォルト引数 – Rust にはないため、明示的にパラメータを渡すことでテストが容易になります。
• Clippy & LSP – バグ検出やインラインドキュメント生成に不可欠です。

6. WebAssembly へのコンパイル

wasm-pack

cargo new --lib gershgorin-circle-theorem
wasm-pack build --target web --no-typescript --no-pack

生成される

.wasm

.js

pkg/

#[wasm_bindgen]

<script type="module">
  import init, { Complex, Matrix } from "./pkg/gershgorin_circle_theorem.js";
  init().then(() => {
      const matrix = new Matrix(order, values);
      const circles = matrix.gershgorin_circles();
      const eigvals = matrix.qr_algorithm(10n, 1e-8);
  });
</script>

7. Hugo での公開

このコンポーネントはブログ投稿内に iframe として埋め込みます。

publish-html-as-resource.html

.html

{{< iframe src="component/component.html" width="100%" height="820" >}}

8. 結論

Rust で固有値ソルバーを書き、WebAssembly にコンパイルする作業は非常にやりがいのある経験でした。
借用チェッカーの壁や複素型の欠如といった初期の障害を

wasm-bindgen

次なる挑戦

• 他の行列族（確率行列、正定値行列）を対象にインタラクティブデモを作成。
• Brauer の Cassini 楕円などより厳密な境界を調査。
• JavaScript グルーコードをさらに削減 —

  web-sys

  や Leptos/Dioxus などのフレームワークを検討。

投稿終了。