パターン・コリダー (Pattern Collider)

概要と特徴

パターン・コリダーは、**準周期タイルング（quasiperiodic tiling）**パターンの生成と探索を可能にするツールです。主な特徴は以下の通りです：

• 独自のカスタム URL：作成したあらゆるパターンに付与され、ブックマークや共有が可能です。
• 原理の解説：動作原理については、『Minute Physics』の動画（※）をご参照ください。

注：※原文には動画へのリンクまたは言及があるが、具体的な URLs は提供されていないため、「動画を視聴してご覧ください」と記述。

クレジットとライセンス

本プロジェクトの開発および構成に関する情報は以下の通りです：

• 開発者：Aatish Bhatia 氏による開発、Henry Reich 氏との協力により完成。
• 感謝申し上げます：有益なフィードバックおよび助言をいただいた方々へ（Arkarup Banerjee 氏、Shefali Nayak 氏、Vijay Ravikumar 氏、Connie Sun 氏）。
• ライセンス：本リポジトリに含まれるすべてのコード（特に事前のライセンスが付与されていないもの）は、オープンソースの MIT ライセンス 下で公開されています。

準周期パターンとは？

「どの方向へスライドさせても自己重复しないが、動機（タイルのクラスター）全体がパターン内を無限に頻繁に現れる」ようなパターンを指します。

• 代表的な例：
  • ペンローズタイルング（最も有名な例）。
  • 中世イスラム美術に見られるデザイン。
  • 自然界における准結晶。
• 視覚的特徴：多数の繰り返し動機を含みますが、全体としてどの方向も重複しません。
• 数学的な理由：周期的に反復する部品から構成されていますが、周期同士の比率が無理数であるため、互いに一致しない点にその秘訣があります。

「有名」なタイルングパターン

パターン・コリダーで再現可能な、以前に命名されたパターンの一例です：

• 5 重対称 ペンローズタイルング
• 6 重対称 ステップドプレーン（ランダム化をクリックしてバリエーションを生成可能）
• 7 重対称 ソコラータイルング
• 8 重対称 アマン・ビーエンカータイルング
• 12 重対称 ソコラータイルング

動作原理

パターン・コリダーは、数学者ニコラース・ゴベルト・デ・ブリュイネが発見した**「多重グリッド法（multigrid method）」**を用いています。

基本構成

• 直線の集合：互いに交わる直線の集合が全てタイルングパターンを生み出します。
  • 多数の直線から始め、それらが交差する点を特定。
  • 各交差点で、直線に垂直な辺を持つ正多角形を描画するとそれが「タイル」となります。
  • タイルは二つの直線の交点によって生じ、形状は交差角度によって決定されます。
• 双対関係：このタイルングパターンと直線グリッドは互いに双対（代替表現）の関係にあります。

ペンローズタイルの構築例

デ・ブリュインの手続による具体的な適用例です：

1. 前セットに対してそれぞれ $360°/5 = 72°$ の角度で傾けた5 組の等間隔な平行線を引く。
   • これを**「ペンタグリッド（pentagrid）」**と呼びます。
2. このグリッドをデ・ブリュインの手続によって変換すると、よく知られたペンローズタイルングが得られます。
3. ペンタグリッド内の直線は二種類の角度のみで交差するため（$72°$ または $144°$）、タイルは**「薄い菱形」と「厚い菱形」**の 2 種類のみからなります。

無限の可能性

• 直線を平行移動させても間隔や向きを保持すれば、無限 families のペンローズ様のタイルングを生成できます。
• 異なる数の平行線組（多重グリッド）に対して手順を繰り返せば、多くの他のパターンも作成可能です。

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パターン・コリダーの使用方法

インタラクション操作

• 画像保存：パターンの右上にある保存アイコン💾をクリック。
• 直線の選択：
• グリッド上の直線をクリックすると選択され、対応するタイルパターン内の帯（ribbon）がハイライト表示されます。
• クリック＆ドラッグで平行な直線/帯を一括選択できます。
• タイルの選択：
• タイルをクリックすると選択され、グリッド上の対応する交差点がハイライト表示されます。
• クリック＆ドラッグで複数のタイルを選択できます。
• リセット操作：
• 「クリア選択」ボタン：すべての選択を解除。
• 「リセット」ボタン：すべての変更を元に戻してデフォルトのタイルングパターンへ戻す。

パターン設定（パラメータ）

• 対称性（Symmetry）：
• パターンの回転対称性を制御します。値が高くなるほど、平行線/帯の組数が増加します。
• 対称性 3, 4, 6 の場合を除き、すべての対称性値でパターンは準周期的になります。
• N 重対称パターンの場合、パターンを $360/N$ 度回転させたときに同じように見える点が存在します。
• パターン（Pattern）：
• グリッド中心からの各直線の家族のオフセットを制御します。

• パターン = 0 または 1

  の場合：一点でより多くの直線が交わり、タイルングパターンにおいて四辺形以上の多角形が生成されます。

• パターン = 0.5

  あるいは

  パターン = 1 / 対称性の値

  の場合：興味深い現象が起こります。
• 回転（Rotate）：
• パターンをその中心周りに回転させます。
• 注意：回転の中心はタイルングパターンの中央であり、可視パッチの中央ではありません（ただし

  glide = 0

  の場合は一致します）。
• 平行移動（Pan）：
• パッチを左右に平行移動させます。

• rotate

  と組み合わせて使用することで、タイルングパターン内を移動できます。
• 乱度（Disorder）：
• グリッド内の各直線の家族をランダムな量だけオフセットします。
• 無作為なオフセットの大きさは

  disorder

  スライダーで制御されます。これにより、より広い範囲のタイルングパターンを探索できます。
• ランダム化（Randomize）：
• 新しい一組のランダムなオフセットを作成して、別のランダムなパターンへジャンプします。
• 条件：

  disorder > 0

  の場合のみ機能します。
• パターンの共有（Share Pattern）：
• このパターンの URL をクリップボードにコピーし、簡単なブックマークおよび共有を可能にします。

サイズ設定

• 半径（Radius）：タイルの円形パッチの半径を設定します。
• ズーム（Zoom）：パターンの拡大・縮小を行います。
• グリッド/タイルング表示：グリッドまたはタイルングパターンの表示オン／オフを切り替えます。

色設定

• カラーパレットの変更：タイル用の新しいカラーパレットを生成します。
• 色の反転：カラーパレット内の色の順序を反転させます。
• タイルの方位による着色：
• タイルの面積ではなくその方位に基づいてタイルに色付けします。
• 特に3 重対称または 6 重対称のパターンの視覚化に適しています。
• タイルの色塗り：タイルに色を塗る機能をオン／オフ切り替えします。
• 交差点（Intersections）：グリッド内の交差点の識別をオン／オフ切り替えします。
• エッジ（Edges）：タイルのエッジの輪郭表示をオン／オフ切り替えします。
• エッジの輝度：エッジの明るさを設定します。
• 色相（Hue）：パターンの平均色相を設定します。
• 色相範囲（Hue Range）：
• パターンの色相範囲を設定します（負から正までの範囲）。

• ゼロ

  に設定すると、単一の色相を持つ濃淡でタイルが着色されます。
• 彩度（Saturation）：パターンの彩度を制御します。

  ゼロ

  の場合にはグレースケールになります。
• コントラスト：
• パターンのコントラストを制御します（暗さから明るさまでの範囲）。
• 高いコントラストはパターンを目立たせやすくしますが、色相の強調効果が低下します。