2026/04/26 2:40

チャット GPT を持つアマチュアが、エルデシュの問題を解決した。

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要約▶

Japanese Translation:

科学米国人が 23 歳の素人数学者リリアム・プライスが、チャット GPT Pro や GPT-5.4 といった大規模言語モデルの助けを得て、難解な 60 年にも及ぶ予想を最近解明しました。 idle な午後に行われた単一のプロンプトに対する AI の生成した証明は、「初等集合」に関するものであり、これは他の要素で完全に割り切られるような要素を持たない整数の集合という、パウル・エルドースによって導入された概念に就いています。その解決策は www.erdosproblems.com に、今から少し前週に投稿されました。

その予想は、「エルドース和」がそのような集合が増大するにつれて正確に 1 に近づくと述べています。ジャレッド・リヒトマンは 2022 年にこの極限への進展を確立しましたが、正確な値を証明することはできませんでした。ターセンス・タオは、人間がわずかに間違った方向に進んだものの、問題は予想より難しく見え、専門家たちは「精神的ブロック」により停滞した可能性を観察しました。

AI のブレークスルーは、関連分野からの良く知られた公式に基づく独自の手法を適用することから生まれました。これは、この特定の質問に対して以前に誰も試みたことがない組み合わせでした。AI の生々しい出力は当初、パースが難しく、リヒトマンやタオのような専門家によって鍵となる洞察を特定し、短縮して明確にするのにレビューする必要がありました。基本的なアイデアはモデル内で発掘されました。プライスは、問題の歴史についての事前知識なしにエルドース問題をカジュアルに探索する中で解決策を発見しました。その後、バーレートの重要性に気づいたケンブリッジ大学の学部生ケビン・バーレットと協力しました。

この成功は、大規模言語モデルが単なるパターン認識を超えた深い数学的推論を可能にし、「大きな数の解剖学」の分析におけるより広い応用において有用である可能性を示しています。この記事は 2026 年 4 月 24 日に Scientific American に発表されました。

本文

4 月 24 日
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素人だった若者が、60 年間も残されてきた数学の難問を解明しました。その方法とは、「ChatGPT を使う」というもの。AI は人間には思いつかなかった新たな手法で、一つの数学的推測（コンジュクチュア）の証明に成功しました。専門家たちは、この成果がさらに広い応用可能性があるとの見方を示しています。（Eugene Mymrin/Getty Images 提供）

23 歳にして高度な数学訓練を受けた経験のない Liam Price が、世界クラスの数学者たちも試みられ失敗した 60 年におよぶ難問を解き明かしました。彼が持っていたのは、OpenAI の最新の大規模言語モデルにアクセスできる「ChatGPT Pro」のサブスクリプションだけでした。

人工知能（AI）は最近、「Erdős 問題」と呼ばれる数多くの推測を解いたことで大きく注目を集めました。これは、生産的な数学者 Paul Erdős が残した未解決の問題群ですが、専門家はこれらの問題が AI の数学的能力を評価する完璧な基準になるとは言えないと警告しています。これらの問題は重要さと難易度に大きな差があり、多くの AI による解答は表面的には独創的に見えても、実はそれほど新規性があったわけではありませんでした。

今回 Price が得た新しい解答——これは、わずか一週前の月曜日の午後に、「Erdős 問題」に特化したウェブサイト www.erdosproblems.com に投稿されたものでした。GPT-5.4 Pro に対して単一のクエリを入力するだけで得られたこの解決法は、これまでとは異なります。同問題はかつての著名な研究者たちも手掛けたことがあり、その難しさから一定の評価を得ていました。何より重要なのは、AI が同類型の問題に対し、完全に新しい手法を用いたことであります。現時点では確定的には言えませんが、この大規模言語モデルによって生み出されたつながりは、より広範な応用において有用である可能性があります。これは、最近称賛されている数学分野での AI の成果とは異なり、見つけることが難しいタイプの発見です。

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「今回のものは少し違うのです。なぜなら、これについては人々がすでに見ておりましたが、それまで見ていた人々が集まって一歩間違えると、最初の動きでわずかに道を外してしまったという点ですね」と言います。カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者である Terence Tao。彼は近年、AI が彼の分野に進出する際の主要な評価者として活動しています。「浮かび上がっているのは、この問題はいわば思っていたよりも簡単だったのではないか——ある種の心のブロックがあったのではないか、ということです」と続けます。

Price が解決した、あるいは ChatGPT に解かせるように促したのは、「特定の整数集合」に関する問題でした。つまり、その集合内のどの数も、他の数によって割り切れない集合です。Erdős はこれらを「原始集合（primitive sets）」と呼び、不可約な素数との関連からこの名称を付しました。
「一つの数が素数であるとは、他の因数を持たないことを指しますが、これは『個々の数』という概念を、『数の集合』へ拡張したようなものです」とスタンフォード大学の数学者 Jared Lichtman は説明します。「素数全体がなす集合は自動的に原始集合となります。なぜなら、素数は自分自身と 1 のみで割ることができ、他の因数を持たないからです」。

Erdős はさらに、「Erdős 和（Erdős sum）」というスコアを導入しました。これは任意の原始集合に対して計算可能な値です。彼は、この和が最大でおよそ 1.6 に達することがあり、かつ（無限の）すべての素数からなる集合についても同様の値が成り立つと推測しました。Lichtman は 2022 年に修士論文の中で、Erdős のその推測を正しいとして証明しました。

Erdős はまた、「集合内の全要素が大きいほど、スコアは下がる」ということも観察していました。「数越大きになるほどスコアは低下し、集合の要素が無限大に近づくとスコアはちょうど 1 に近づいていく」と推測されていました。Lichtman もこれを証明しようと試みましたが、それ以前の人々と同じく行き詰まっていました。

Price はチャット AI にこの問題を投入した時、その歴史的な背景には何も気づいていませんでした。「月曜日の午後、暇つぶしに Erdős 問題に取り組んでおり、ときどき AI に問題を投げかけて『どう答えられるか』を確認していました。そして AI は、正解のように見える解答を提示してくれたのです」と Price 自身は振り返ります。

Price はその成果を、ケンブリッジ大学数学専攻の二年生である Kevin Barreto という偶発的な協力者へ送りました。両者は昨年秋、Erdős 問題のウェブサイトに載っている無作為に選ばれた未解決問題を対象に、ChatGPT の無料版に対してクエリを送ることで、AI を活用した Erdős 問題解読ブームを先導しました（その後、AI 研究者が彼ら各々に ChatGPT Pro のサブスクリプションをプレゼントし、「ふんわりとした数学感（vibe mathing）」を助成しました）。

Barreto が Price のメッセージを確認した際、それが特別なものだとすぐに気づき、彼に連絡を取った専門家たちも早速注目しました。

「これまでの問題に取り組んできた人々は、ほぼ標準的な手順で進めていました」と Tao は言います。「しかし、この大規模言語モデル（LLM）は全く異なる道を選択し、数学の関連分野では広く知られていた公式を用いながら、まさにこの種類の問題に適用すべきだとは誰も思っていなかった手法を採用しました」。

「ChatGPT が生成した証明そのものは実際には質が低く、専門家の手によって見直しが必要でした。それを読み解き、本当に何を言いたかったのか理解させる作業が行われました」と Lichtman は述べています。現在では、Tao と Lichtman はこの証明を簡素化し、LLM の核心的な洞察をより明確に抽出できるように改訂しました。

何より重要なのは、彼らはこの AI による知的飛躍が、他にも潜在的な応用分野を持つことをすでに認識していることです。

Tao は、「我々は大きな数とその構造について、新しい視点を持つ方法を発見しました」と指摘。「これは素晴らしい成果です。ただし、長期的な意義についてはまだ判断待ちの状態だと思われます」。
Lichtman は期待しており、ChatGPT の発見が彼が大学院在学中から持っていた直感を確認したからです。「これらの問題はいわばクラスターのように集まっており、何らかの統一的な性格を持っていると感じていました」と言います。「そしてこの新しい手法は、まさにその直感を裏付けているのです」。

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