2026/01/16 5:36
**Show HN:** *縦長・薄型ネットワークのヘッシアンは簡単に逆行できる*
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要約▶
Japanese Translation:
このパッケージは、深層ネットワークのヘシアン逆行列積 (H^{-1}v) を効率的に計算する方法を示しています。高価な三次時間の行列逆転を実行する代わりに、補助変数を導入して問題をブロック対角系統の解法へと変換します。この再構成により、標準的な線形代数ツールで高速な因子分解が可能になります。アプローチは Pearlmutter のヘシアンベクトル積技術を逆積に拡張し、
関数として実装されています。この手法は、元のモデルから派生した拡張ネットワークを通じて効果的に伝搬し、階層的にネストされたブロック行列をカスタムライブラリ（hessian_inverse_product）で処理します。デモノートブック (block_partitioned_matrices.py) では、その実用例が示されています。このアルゴリズムは確率的勾配降下法のプリコンディショナーとして利用でき、特に大規模な深層学習モデルのトレーニング時間を短縮する可能性があります。demo_hessian.ipynb
本文
ヘッシアンの逆行列を簡単に求める方法
このパッケージでは、ディープネットワークのヘッシアン（H）の逆行列とベクトルとの積を計算する手順を示します。
ある固定ベクトル (v) に対してヘッシアン‑ベクトル積 (Hv) が与えられた場合、求めたいのは
[
Hx = v
]
という線形方程式の解 (x) です。
この手法を使えば、後に確率的勾配降下（SGD）のプリコンディショナーとして利用できることが期待されます。
ペルマッタ―はディープネットワークに対してヘッシアン‑ベクトル積を効率的に計算する方法を示しました。
一方、本リポジトリの論文とコードでは、ヘッシアンの逆行列との積（すなわち (\mathbf{H}^{-1}v)）を求める手順を紹介しています。
この線形系を単純に解くには、パラメータ数 (n) に対して (O(n^3)) の計算量が必要になるため、現代の大規模ネットワークでは実用的ではありません。
そこで、次のようなトリックを使います。
- 方程式系 (,Hx = v) を補助変数で拡張する。
- その拡張系をブロック三対角行列（block‑tri‑diagonal）にピボット化する。
- このシステムを因子分解し、最終的に解く。
結果として、元のネットワークを拡張した形で「伝搬」を実行するような手順になり、計算量が大幅に削減されます。
主要リソース
- 論文：このアイデア全体は所定の論文にて詳細に説明されています。
- デモ：
を参照してください。demo_hessian.ipynb - 実装：アルゴリズム本体は
関数に実装されています。hessian_inverse_product
基盤ライブラリ
このアルゴリズムは、階層的にネストされた構造ブロック行列を多用します。
例えば、ブロック対角（block‑diagonal）であるパーティション行列や、さらにそれらのブロックがパーティション行列となる三対角（tri‑diagonal）行列などです。
コード内に
block_partitioned_matrices.py詳細は同ファイルに付属しているチュートリアルをご覧ください。