**A4紙の物語**

Susam Pal 氏（2026年1月6日）

私は時折、あまり速くもなく正確でもない、しかも標準機関が推奨していないような測定手法に頼ることがあります。それなのに、この方法を使うたびに失敗したことはありません。ここではそれを説明しますが、「技術」と呼ぶと誇張すぎるかもしれません。10年先まで毎日あなたの目に映り続けるキッチンキャビネットなどの取り付けには絶対に使わないでください。必要なのは一つだけ――A4用紙です。

多くの理性的な人と同じように、私はどこへ行っても定規を持ち歩きません。しかし、短時間で何かを測る必要がある場面（多少の誤差が許容される状況）では、簡単に定規を手に入れられないと、多くの人と同じように「次に最適と思われるもの」を取り出します。私にとってそれはA4用紙であり、私の住む地域では豊富に揃っています。

コピー機で夜空図を作ったり、数式証明の作業中にメモ帳として使ったり――子供時代からA4紙は信頼できる仲間でした。よく利用します。バッグを持っているときは、必ず何かしらのA4用紙が入っています。最近研究論文を書いたものや、次の電車でもう少しじっくり考えたい数学問題などです。

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尺寸

A4紙の寸法は、シンプルでエレガントな問題の解決策です。短辺に平行に切ったとき、その二つの半分が元の紙と同じアスペクト比（長さ比）を保つような紙を設計したと想像してください。つまり、短辺を (x)、長辺を (y) とすると

[ \frac{y}{x}=\frac{x}{,y/2,} ]

となり、結果は

[ \frac{y}{x}=\sqrt{2}. ]

これを実際に試してみましょう。(y/x=\sqrt{2}) とすると、短辺に平行に紙を半分に切ります。新しい短辺 (x' = y/2 = x\sqrt{2}/2 = x/\sqrt{2})、長辺は (y'=x)。そして

[ \frac{y'}{x'}=\frac{x}{x/\sqrt{2}}=\sqrt{2}. ]

つまり、短辺に平行に切り分けるたびにアスペクト比 (\sqrt{2}) を保つ紙が得られます。A4紙はこの性質を持っています。

では、A4の正確な寸法と「A4」と呼ばれる理由（4とは何か）は？ まずは数字 (0) と (1) を考えましょう。

A0紙の寸法

面積が (1,\mathrm{m}^2) で、先ほど説明したアスペクト比保持性を持つ紙を作るとします。すなわち、

[ xy=1,\mathrm{m}^2,\qquad \frac{y}{x}=\sqrt{2}. ]

この二式を解くと

[ x^2=\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{m}^2, ] [ x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}};\mathrm{m}, \qquad y=\sqrt[4]{2};\mathrm{m}. ]

小数点以下三桁で表すと

[ x=0.841,\mathrm{m},\quad y=1.189,\mathrm{m}, ]

これがA0紙の寸法です。ISO規格でも正確にこの寸法が定められています。大きくて数式を書き込むにはちょっと過剰ですが、より小さなサイズで作業したいと考えます。

A1〜A4への分割

A0紙は (84.1,\mathrm{cm}\times118.9,\mathrm{cm})。これを短辺に平行に半分に切ると、A1紙は (59.4,\mathrm{cm}\times84.1,\mathrm{cm})。再び切れば A2 は (42.0,\mathrm{cm}\times59.4,\mathrm{cm})。さらに切れば A3 は (29.7,\mathrm{cm}\times42.0,\mathrm{cm})。もう一度切ると、A4 は

[ 21.0,\mathrm{cm}\times29.7,\mathrm{cm}. ]

これが A4紙の寸法です。私の記憶に刻まれた数字は、(1) の掛け算表のように定着しています。A5, A6…と続ければ理論上 (A_{\infty}) まで行くこともできますが、現実的には原子レベルで制限されるかもしれませんね（冗談です）。

一般的に (A_n) 紙の寸法は

[ 2^{-(2n+1)/4},\mathrm{m}\times 2^{-(2n-1)/4},\mathrm{m} ]

で、(n=4) を代入すると確かに A4 の寸法が得られます。

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実際の測定

ここで再び「物を測る」ことに戻ります。A4紙の寸法は私の記憶に深く根ざしています。自宅周辺ではA4紙を入手するのはほぼ容易です。長年、A4紙を使ったエピソードが蓄積されてきました。最近の一例をご紹介します。

ある午後、趣味人たちと集まっていたとき、話題が近くで電源オフになっているコンピュータモニターに移りました。誰かが「画面は27インチだ」と確信して言い出しました。聞こえは妥当そうでしたが、確認したいと思いました。そこで私は頼りになる測定道具――A4紙を取り出しました。結果は速くも正確でもありませんでしたが、問題解決には十分でした。

まず A4紙の長辺（29.7 cm）をモニターの幅に合わせました。一度で終わらなかったので再配置してもう一回測定。画面がまだ少し伸びているように見えました。目安として、残りは約 (1,\mathrm{cm}) と推定しました。したがって幅は

[ 29.7+29.7+1.0=60.4,\mathrm{cm}, ]

ざっくりして 60 cm とします。

高さについては短辺（21 cm）を使いました。一回で 21 cm は収まりました。残りの部分は、紙を短辺に平行に折って A5 サイズ（14.8 cm×21.0 cm）の長辺を使用しました。その長さが画面上端より少し伸びているように見えたので、余分は約 (2,\mathrm{cm}) と推定。よって高さは

[ 21.0+14.8-2.0=33.8,\mathrm{cm}, ]

ざっくりして 34 cm とします。

比率 (60/34 \approx 1.76) は、現代ディスプレイでよく使われるアスペクト比 (16/9) にかなり近いです。ここからピタゴラスの定理を用いて対角線長を推算します。

[ \sqrt{(60,\mathrm{cm})^2+(34,\mathrm{cm})^2}\approx68.9,\mathrm{cm}. ]

インチに換算すると、1 inch は 2.54 cm ですから

[ \frac{68.9}{2.54}\approx27.2,\mathrm{in}, ]

つまり実際に 27 インチのディスプレイだったと確認できました。A4紙を使った私のこだわりは完了です。

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まとめ

• A4紙は (\sqrt{2}) のアスペクト比を保つ特性を持ち、短辺に平行に切れば同じ比率が維持されます。
• A0からA1→A2→…→A4へと繰り返し半分に切ることで、寸法は (21.0,\mathrm{cm}\times29.7,\mathrm{cm}) となります。
• 実際の測定では、A4紙を「長辺＝幅」「短辺＝高さ」という形で使うと、数分で大まかな寸法が得られます。

もちろん精密な作業や重要な構造物の取り付けには専用工具を使用すべきですが、日常的にちょっとした測定を行いたい時は A4紙が手軽かつ信頼できる道具になるでしょう。