リンド・数学紙（Rhind Mathematical Papyrus）：古代エジプトの数学的遺産

概要と基本情報

• 正式名称: リンド・数学紙（RMP; Rhind Mathematical Papyrus）
  • 他の名称: イギリス博物館パピルス 10057 (pBM 10058)、ブルックリン博物館 37.1784Ea-b
• 現在所在: イギリス博物館（ロンドン）
  • 一部はアメリカのブルックリン博物館所蔵。
• 年代: 西暦前 1550 年頃
  • 書かれた時期: 第二中間期後半、第十五王朝（ハイクソスの王アペピの第 33 年）。
  • 由来する原典: 中王国第 12 王朝（ネマートゥル王 / アメンエマハト 3 世）に製作された古写し。
• 発祥地: エジプト、テーベ
• 言語: 古エジプト語（ヒエラティック文字）
• 書記: アメス（旧記法ではアムヌセ）
• 素材: パピルス

歴史的背景と発見経緯

発見の経緯

• 1858 年、スコットランドの古代物学者 アレクサンダー・ヘンリー・リンド がエジプトのルクソールでパピルスの 2 つの部分を購入。
  • 発見場所: 「ラメッスムにある小さな建物の一つ」
• 1865 年、イギリス博物館がリンドの所蔵品を取得（エジプト数学皮革巻物と共に）。
• 1860 年代半ば、アメリカのエジプト学者 エドウィン・スミス博士 がルクソールでテキストの断片を独立に購入。
  • その娘が 1906 年にニューヨーク歴史協会へ寄贈（現在ブルックリン博物館所蔵）。

文書の内容と特徴

• 冒頭の声明: 「物事を究めるための正確な計算術、万物の知識、神秘……そして全ての秘密」として紹介。
  • 書記アメスによる自らの執筆宣言と、古写しからの引用が含まれている。
• 歴史的事実注記: 裏面（verso）には「南の者」（テーベ王アハモス 1 世）によるヘリオポリスの陥落やジャーウへの襲撃など、歴史的出来事が記録されている。

出版研究史

• T. エリック・ピート (1923 年): 最初の英語出版。フランシス・ルーイェル・グリフィスの著作を参照。
• アーノルド・バッファム・チェース (1927-1929 年): テキストの写像を含む要覧を出版。
• ロービンズとシューテ (1987 年): より近代的な概観を提供。

---

パピルスの構成と構造

パピルスは主に 4 つの部分 から構成されており、数学的に翻訳された側面にも不備が残されている。

1. 表紙: アメスが自己と歴史的状況を説明する部分（recto と verso の両方に記載）。
2. 2/n 表: 3 から 101 の奇数に対する $2/n$ の分数分解表。
3. 1-9/10 表: 数字 1 から 9 を 10 で割った結果を表した表（例：$7 \div 10 = 2/3 + 1/30$）。
4. 問題集: 全体で 91 の問題（または番号）を記録。
   • 現代の研究分類: 問題 1-87、および追加の項目 (7B, 59B, 61B, 82B)。
   • 番号 85-87 は裏面にあり、数学的内容とは独立している。

使用された測度単位（次元分析）

• 長さ: ロイヤル・ユビット、ケト (100 ユビット)、パルム (1/7 ユビット)、フィンガー (1/4 パルム)。
• 面積: セタト、ユビットストリプ (100 平方ユビット)。
• 体積: ヘカト、クアドラプル・ヘカト、ロ、クアドラプル・ロ、ヒヌ、カール、ダブル・ヘカト。

---

第 1 部 – 算術と代数学（問題 1-40）

このセクションは、単純な分数表現から複雑な一次方程式へと進む。

表（Table）

• 2/n 表: $n=3, 5, \dots, 101$ の奇数に対する $2/n$ の値を単位分数の和として表現。
  • 最大項は 4 項を超えないことが保証されている（例：$2/7 = 1/4 + 1/28$）。
• 1-9/10 表: $1/10$ から $9/10$ の小数表現。

問題 (Problems) の分類

問題番号	内容の概要	解説・ポイント
1-6	パンの分配（1, 2, 6...9 のパンを 10 人に割当）	「1-9/10 表」の単純な反復。単位分数での記録。
7, 7B, 8-20	分数の掛け算（例：$1+1/2+1/4$ など）	積を単位分数として表記する練習。問題 7 は 3 回記述されている。
21-23	「完成（セケム）」の問題	現代の記法では引き算の問題。
24-34	「アハ」問題（一次方程式）	$x + \dots = A$ の形式で解く。例：問題 32 ($x + 1/3x + 1/4x = 2$)。
35-38	ヘカト単位での割り算	次元分析が主要な考慮事項になる。
39-40	パンの分割計算（等差数列）	問題 40 は 4 つの条件を持つ唯一の解を持ち、線形代数の境界に近い。

---

第 2 部 – 幾何学（問題 41-60）

ピートはこれを「測度問題」と呼んだ。円柱、立方体、円形、台形など多様な図形の面積・体積を扱う。

問題別解説

• 問題 41-46: 穀倉の体積計算

  • 円柱: $V = (\frac{8}{9}d)^2 \times h$ を使用。
    • $\pi$ の近似値として 256/81 ($\approx 3.1605$) が使われ、誤差は約 1% 未満。
  • 直方体・立方体: 次元をユビットで記述し、クアドラプルヘカトなどで表現。

• 問題 47: クアドラプルの分割表

  • 「100 クアドラプルのヘカト」を 10 の倍数 (10-100) で割る結果を表化。
  • 商はホルス目の分数を使用。
  • 例：$100 \div 30 = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64)$ クアドラプル ヘカト ＋ $(1 + 2/3)$ クアドラプル ロ。

• 問題 48-55: 面積の計算

  • 円: $\pi \approx 256/81$ を用いて簡潔に計算。「円の面積は外接正方形に対し $64/81$ の比」という慣例を強調。
  • その他：矩形、三角形、台形の面積計算法を示す。

• 最後の 6 題 (56-60): ピラミッドの勾配（セケド問題）

  • セケド: パピラス面の傾斜（run-to-rise 比）を定義。底辺の半分に対する高さの比率。
  • 例：高さが 250、底辺が 360 の場合、セケドはいくらか？（余接に相当）。

---

第 3 部 – 雑記・表・パズル（番号 61-87）

このセクションは数学的性質を持つ問題と、データ表や歴史的注記が混在する。

主要な項目一覧

• 問題 61: 17 つの掛け算の表（交換法則の理解を示唆）。
• 問題 61B: $2/3 \times 1/n$ ($n$ は奇数) の計算手順。素因数を持つ合成数に対するアルゴリズムの萌芽。
• 問題 62-68: 「ペフス」問題（パン・ビール分配、金属分配など）。
  • 原材料あたりの完成品価値（ペフス）を計算し、異なる生産率間の公平交換を探る。
• 問題 64-67: 等差数列や不均等な分配に関する算術問題。
  • 問題 66: 「1 年 = 365 日」との関係を明示した重要な歴史的証拠。
• 問題 69-78: ペフス問題の本格編（異なる品質のパンやビールの交換）。
• 問題 79: 幾何級数のパズル
  • 「7 つの家」：それぞれ 7 匹の猫、343 マウス、2401 の大麦穂...
  • ファイボナッチ『算術記』や「ステイブスパズル」に類似した構造。
• 問題 80-81: ヒヌやヘカトへの単位変換表（大規模なテーブル）。
• 問題 82-84: 動物飼育の餌算
  • ガチョウ、鳥類、牛への大麦・小麦等の必要量を計算。
  • 特に問題 84 は曖昧さや混乱が多く、パピルスの限界を示す。

非数学的「番号」（裏面）

• 番号 85: 文書の終結フレーズ。害虫駆除の祈りまたは難解な解釈の提示。
• 番号 86: スクラップ紙による勘定書（銀、家畜、大麦などのリスト）。
• 番号 87: 歴史的事実注記（ヘリオポリスの陥落、セト・イシスの誕生など）。

---

問題番号別の内容要約表

セクション	内容の焦点	解説・注意点
表紙	アメスによる自己紹介と歴史的文脈。	第 33 年（アペピ）、ネマートゥル王の名前使用。recto/verso の両方にある。
2/n 表	$3 \le n \le 101$ の $2/n$ 分解。	合成数はアルゴリズムに従うが、素数では例外あり（問題 61B 参照）。
1-9/10 表	$n/10$ ($1 \le n \le 9$) の分数表現。	シンプルな参照表。例：$7/10 = 2/3 + 1/30$。
1-6	パン分配（等分割）。	「1-9/10 表」の反復練習。
7, 7B, 8-20	分数の掛け算と展開。	問題 7 は実質的に 3 回記述されている。
21-23	「セケム」（引き算）。	単なる差の計算。
24-34	一次方程式（アハ問題）。	$x + \dots = A$ の解法。問題 31 は特に困難。
35-38	体積単位での割り算。	次元分析の導入。ヘカト・ロ単位使用。
39-40	不等分・等差数列による分配。	問題 40 は唯一の解を持つ複雑な条件式。
41-46	円柱・直方体の体積。	$\pi \approx 256/81$ の近似使用。次元単位換算を含む。
47	クアドラプルの分割表。	ホルス目の分数と「クアドラプル・ロ」単位を使用。
48-50	円形・矩形の面積。	$64/81$ の規則（$\pi \approx 256/81$）を多用。
51-53	三角形・台形の面積。	問題 53 は複雑で過ちを含み、解釈に注意が必要。
54-55	敷地の等分。	合計面積から各部分を求める単純な計算。
56-60	ピラミッドのセケド（勾配）。	「run-to-rise」比を用いた三角測量の初期例。問題 60 で幾何学終了。
61	積の表。	乗法の交換法則を暗黙に理解している。
61B	$2/3 \times 1/n$ の計算アルゴリズム。	「2/n 表」の導出と密接に関連。
62-68	ペフス問題（分配・価値）。	製造業の概念、次元分析を含む。問題 66 で「365 日」と明言。
79	幾何級数パズル。	7 のべき乗の和。ステイブスパズルに類似。
80-81	単位変換表（ヒヌ・ヘカト）。	最大のテーブル形式の一つ。
82-84	動物飼育の餌算。	複雑で曖昧な計算を含む（問題 84 の限界）。
番号 85	終結フレーズ。	害虫駆除の祈りなどの解釈が提案されている。
番号 86	スクラップ紙のメモ帳。	商品一覧として機能。
番号 87	歴史的事実注記。	ハイクソス時代の出来事（ヘリオポリス陥落など）。

---

主な参考文献

• Chace, Arnold Buffum, et al. (1927-1929). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 1 & 2. Mathematical Association of America.
• Robins, Gay, & Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text. British Museum Publications Limited.
• Spalinger, Anthony (1990). "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document". Studien zur Altägyptischen Kultur.