Japanese Translation:

有限単純群の分類 (CFSG) の形式的検証は、現在、Lean 言語において完了しており、これは第一世代の証明のすべての論理的ステップを Lean のカーネルを用いて検証することで達成された歴史的マイルストーンです。この画期的な試みには 100 名以上の数学者とエンジニアが関与し、約 4310 万行に及ぶコードおよび 205 万を超える声明を生成しました。本プロジェクトは、1870 年から 2026 年の間に出版された 1,870 の源文献を形式的に記述化し、すべての有限単純群を素数次の巡回型、交代型、リー型、ならびに 26 つの孤立群のいずれかに分類することに成功しました。

厳密な形式的記述化プロセスの間、不均衡群に関する定理の元の証明において重大な欠陥が特定されました。しかし、研究者たちはこの問題を解決するために代替的な証明経路を開発し、数学構造全体の整合性が保たれるよう確保しました。主な貢献者には Dean Cureton、Vasily Ilin、Bhavik Mehta、Niels Voss が含まれ、それぞれ数学者およびエンジニアとしての役割が明確に区別されています。

完了したプロジェクトは GitHub（https://github.com/AxiomMath/CFSG）および Axiom Math を通じて公開されており、インタラクティブな証明マップ https://cfsg.axiommath.ai にアクセス可能です。この成果の詳細な物語はブログ投稿に記載されており、検証済みの Lean コードは独立した Lean リポジトリで入手可能であり、将来の形式的記述化取り組みのための堅牢な基盤を確立しています。

有限単純群の分類定理：Lean による完全な形式化

背景と成果

歴史的意義
- 有限単純群の分類は、数学における一大共同達成の一つです。
- 第一世代の証明には、約 100 名の数学者が数十年にわたり取り組んだ結果、数千ページに及ぶ学術論文が必要です。
- その結論は、すべての有限単純群は以下のいずれかと同型であることを示します：
  1. 素数の位数を持つ巡回群
  2. 交代群 (Alternating groups)
  3. ライ型群 (Lie-type groups)
  4. ** sporadic グループ**（全 26 個）
Lean による形式化の意義
- このプロジェクトは、第一世代の証明を Lean で完全な形式化を行ったものです。
- 論理の各段階が Lean の核によって厳密に検証されています。
- これを通じて、「Unbalanced Group Theorem」に関する既存論文の問題点を発見しました。

プロジェクト規模と統計データ

コード行数: 約 310 万行
宣言数: 約 205 万
マイルストーン: 108 (※記事本文の初出では 100 と記載されていますが、最新データは 108)
関連出版物: 論文および書籍 715 点
コーパス: 源文献 139 誌

注: コードの詳細については「Lean リポジトリ」をご覧ください。視覚化されたタイムラインでは、1870 年から 2026 年までの各ブロックが命題数を表しており、ホバーすることで該当する論文や書籍を確認できます。

主要貢献者

数学分野の貢献者: ディーン・キュートン、バヴィク・メータ、コーリン・デファン、ケニー・ロー、チャーリー・レイ、アシュビンの・スワーミナサン、ジェシー・ソルナー
エンジニアリング分野の貢献者: ヴァシルイ・イリン、ニルス・ヴォス、ラファエル・カブラル、エリック・グレゴリー、アロン・ヒル、レイトン・ホン、チンヘピン・フー、ダスティン・ジャマー、アルバート・ジャング、タデウシュ・ジョルダン、アンドラニック・クルギニャン、シモン・マーンズ、ブライアン・ニューゲント、コンナー・オローン、ケン・オノ、エリック・ポール、ドラヴ・ラージャン、カ-run・ラム、ホ・チョン・シュー、アレクセイ・ツァプリン、チェンカイ・ワン

補足: (*) は数学者の貢献者、(†) はエンジニアリングの貢献者、(◇) は主要研究責任者を示します。

引用方法

この作品を引用する際の BibTeX 形式は以下の通りです：

@misc{axiom-cfsg,
  author       = {Cureton, Dean and Ilin, Vasily and Mehta, Bhavik and Voss, Niels and Cabral, Rafael and Defant, Colin and Gregory, Erik and Hill, Aaron and Hong, Letong and Hu, Qinheping and Jamner, Dustin and Jiang, Albert and Jordan, Tadeusz and Kurghinyan, Andranik and Lau, Kenny and Laurent, Jonathan and Liang, David and Limperg, Jannis and Mahns, Simon and Nugent, Brian and Olson, Connor and Ono, Ken and Paul, Eric and Rajan, Dhruv and Ram, Karun and Ray, Charlie and Siu, Ho Chung and Swaminathan, Ashvin A. and Thorner, Jesse and Tsaplin, Aleksey and Wang, Chenkai},
  title        = {Lean formalization of the classification of finite simple groups},
  year        = {2026},
  howpublished = {\url{https://github.com/AxiomMath/CFSG}},
  note         = {Interactive proof map at \url{https://cfsg.axiommath.ai}}
}