「圏論イラストレートド ～順序関係～」

与えられたオブジェクトのセットに対しては、その性質（サイズ、重量、年齢、アルファベット順など）に応じて多数の順序付け基準が存在しますが、現在私たちが関心を持っているのは、オブジェクトを順序付けるために使用する具体的基準そのものではなく、秩序を定義する「関係性の本質」です。関係性にはいくつかの種類があります。

数学的には、「秩序」という構造物は、モノイドに似たように 2 つの成分によって表されます。

1. 要素の集合: 通常のように、集合の要素を以下のように表記します。

2. 順序関係: これは集合内の 2 つの要素間の関係であり、矢印（アロー）でよく示されます。

法則と秩序の種類

さて、これらの法則の内容は、秩序の種類によって異なります。まず最もシンプルな**線形順序（Linear Order）**から見ていきましょう。一般的に想像される最も直観的な秩序の一つであり、すべてのオブジェクトが他の各要素に対して明確な位置を持つものです。この場合、順序基準は完全に決定論的で、「どの要素が先に来るか」という点における曖昧さを許しません。例えば、色を光の波長（あるいは虹の中での出現順）の長さでソートする場合などが挙げられます。

集合論を用いると、線形秩序だけでなく任意の秩序も、元の集合自身とのペアの集合（積集合の部分集合）として表現できます。

プログラミングの世界では、秩序は「2 つのオブジェクトを受け取り、そのどちらが「大きい」（先にある）方で、どちらが「小さい」かを示す関数」によって定義されます。この関数がペアごとの所属判定（セットに含まれるかどうか）を決定することは容易に想像できます。

[1, 3, 2].sort((a, b) => { 
  if (a > b) {
    return true 
  } else {
    return false 
  } 
})

しかし（ここが興味深いポイントです）、そのようなすべての関数（およびすべてのペアの集合）が秩序を定義するわけではありません。真に秩序を定義するためには、オブジェクトの初期シャッフルに関わらず常に同じ出力を与える必要があるだけでなく、いくつかの規則（法則）を守らなければなりません。

実は、これらの規則はまさに秩序関係の基準となる数学的律則とほぼ同等です。つまり、「どの要素がどの要素を指すか」を定義するルールこそがこれらなのです。

線形順序の定義: 線形順序とは、集合の要素と、その集合内の要素間の二項関係からなり、反射律（Reflexivity）、推移律（Transitivity）、反称律（Antisymmetry）、そして**完全性（Totality）**の法則すべてを満たすものです。

それでは、これら各々の法則を確認しましょう。

• 反射律: まず「退屈な」法則から処理します。各オブジェクトは必ず自身に比べて「大きい」か「等しい」ものでなければなりません（$a \le a$）。順序関係は通常 $\le$ と表記されますが、矢印で第 1 の要素から第 2 の要素へ向かうように表すこともできます。

  この法則の役割は「基底ケース」をカバーすることにあります。逆に、「各オブジェクトは自身との関係を持たない」と定式化することも可能です。その場合は「大きい（strictly bigger）」という関係になり、等号を含むものと区別されるやや異なるタイプの秩序（厳密順序）となります。

• 推移律: 次の法則は、おそらく最も明らかなものではないが、最も本質的なものです。「オブジェクト $a$ がオブジェクト $b$ より大きい場合、それは自動的に $b$ より小さいすべてのオブジェクトよりも大きい」という意味です（$a \le b \land b \le c \to a \le c$）。

  この法則は秩序そのものの定義を大きく規定しています：「私が祖母に比べてサッカーが上手ければ、祖母の友達（彼女に負ける人）にも私の方が上手い」と言えるべきです。そうでなければ、本当に祖母より私は上手くないことになります。

• 反称律: 次の法則は「反称律」と呼ばれます。これは、順序を定義する関数が矛盾した結果を出してはならない、つまり「$x \le y$ かつ $y \le x$ が成り立つのは $x=y$ の場合のみ」ということを意味します。

  また、これは「引き分けは許されない」とも言えます：サッカーでは、私の方が上手いか、あるいは祖母の方が上手いかのどちらかであり、両方が同じくらいでない限り片方が他方より優れているはずなのです。

• 完全性: 最後の法則は「完全性（または結属性：connexity）」と呼ばれ、秩序に属するすべての要素が比較可能であること（$a \le b \lor b \le a$）を要求します。つまり、任意の 2 つの要素について、常に片方が他方より「大きい」と言えます。

  ちなみに、完全性の法則があるため反射律は冗長になります（反射律は $a$ と $b$ が同一オブジェクトの場合の完全性の特殊ケースだからです）。しかしながら、その理由は後ほど明らかになるため、ここでは依旧に提示しておきたいと思います。

  補足: 実際には、完全性の法則を排除することは可能です。この法則に従わない秩序は「部分順序（Partial Order）」と呼ばれ、線形順序は「全順序（Total Order）」とも呼ばれます。

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【タスク 1】

以前、これに非常に似た関係性を扱いましたね。覚えていますか？その違いは何でしょうか？

【タスク 2】

知っている秩序について考えてみてください。それらは部分順序（Partial）なのか全順序（Total）なのか特定してみましょう。

実は、部分順序の方が線形順序（全順序）よりもはるかに興味深いです。それについて深く掘り下げる前に、まずは「数字」についてのいくつかの話をしましょう。

自然数の秩序

自然数は、「大きいか等しいか」という演算の下で線形順序を形成します（私たちが式で使ってきた記号です）。

多くの点において、自然数は秩序そのものの象徴（クイシンテシアルな秩序）です。有限なオブジェクトのあらゆる秩序は、自然数の秩序の部分集合と同型（isomorphic）であり、例えば最初の要素を数字 1 に、2 番目の要素を数字 2 にマッピングできるためです（逆方向の操作も可能です）。

考えてみると、この同型写像は法則で定義される線形順序よりも、むしろ日常感覚における線形順序に近いです。多くの人々が「秩序」と考えるとき、推移律や反称律そして完全性を備えた関係を考えているわけではありません。彼らはどちらが先に、どちらが 2 番目かを決めるために使用できる基準をイメージしているのです。したがって、この 2 つの概念は本質的に同等であることを留意することが重要です。

任意の有限なオブジェクトの秩序が自然数の秩序と同型であるという事実は、さらに「同じサイズ（基数）を持つすべての線形順序は互いに同型である」という帰結をもたらします。

したがって、線形順序はシンプルですが、圏論的視点から見ればそれは「過去に存在した最も退屈な秩序」であり（全ての有限線形順序および大部分の無限順序は自然数と同型であるため）、それらの図式はすべて同じように見えるのです。

しかし、次に検討する部分順序においては事情が異なります。

部分順序 (Partial Order)

完全性の法則だけが、「不動のもの（set in stone）」のように見えず、適用されない状況があるのかどうかを考えることができるかもしれません。例えば、すべての人をサッカーのスキルに基づいて順序付けることを目指した場合、自分自身の友人やその友人の友人などとのランキング方法はありますが、互いに一度もプレーしたことがない人々のグループを順序付けることはできません。

線形順序の法則から完全性の法則を取り除くと、部分順序（あるいは Partially Ordered Set: Poset）が得られます。

部分順序の定義: 部分順序とは、集合の要素と、その集合内の要素間の二項関係からなり、反射律、推移律、そして反称律の法則を満たすものです。

すべての線形順序は部分順序でもあります（群がモノイドであることと同じように），しかし逆は成り立ちません。

さらに、「より一般的なものであるという基準」に基づいて「秩序の順序」を作成することもできます。

部分順序は、第 1 章で扱った対称律を持つ「全等関係（Equivalence Relation）」の概念とも関連しています。ただし、ここでは対称律が反称律に置き換えられています。

サッカー選手のランキングリストの例に戻ってみると、自分、祖母、そして彼女の友人のみを含んでいるバージョンは線形順序になっています。しかし、誰もまだプレーしたことのない他の人物を加えると、階層は非線形（つまり部分順序）になります。

これが、部分順序と全順序の主な違いです：部分順序では、「誰がより優れているか」という質問に対して明確な答えを与えてくれません。しかし、スポーツや他の分野においてさえも、常に要素を線形的に評価できる適切な方法があるとは限りません。

チェーン (Chains)

以前、「すべての線形順序は同じ連鎖状（チェーン）の図式によって表現できる」と述べました。これを逆に言えば、「前述した図式とは異なる見た目をするすべての図式は、部分秩序を表している」と言うことができます。

これの一例として、いくつかの線形順序された部分集合を含む部分順序があります。例えばサッカーの例では、互いにプレーし合い、互いに順位付けられる友人グループを持つ一方で、他のグループの人々とは関係がないようにすることができます。

部分順序を構成する個々の異なる線形順序は「チェーン（鎖）」と呼ばれます。この図式には $m \to g \to f$ と $d \to o$ の 2 つのチェーンがあります。

秩序内のチェーン同士が完全に接続されていない必要はありません。ただし、1 つのチェーンの末尾要素から別のチェーンの先頭要素への「全対対応（one-to-one）」な接続がある場合（つまり、これが実際に 1 つの大きなチェーンへと統合される場合）を除いては、部分的に連結していても構いません。

上記の集合は線形順序されていません：$d \le g$ であり $f \le g$ なので $d$ と $f$ の間の関係は不明であり、どちらが他方より大きいかはどちらも可能性があります。

最大要素と最小要素

部分順序は「誰が優れているか」という明確な答えを与えてくれませんが、いくつかの部分順序でも、より重要な質問（スポーツなどにおける）の答えを与えることができます：「第 1 位は誰か？」つまりチャンピオンであり、他の全メンバーよりも優れているプレイヤーや、一般的には他のすべての要素よりも「大きい」要素を指します。

最大要素 (Greatest Element): 秩序内の最大要素とは、任意の他の要素 $x$ に対して $x \le a$ が成り立つような要素 $a$ を指します。

一部の（全てのではないが）部分順序はこのような要素を持ちます：最後の図式では $m$ が最大要素であり、この図式では緑色の要素が最大のものです。

時には、他のすべての要素よりも大きい要素が複数ある場合もあり、その場合は「最大要素」は存在しません。

最大要素に加えて、部分順序には最小（小さい）要素も持てる場合があり、定義の方法は同じです。

ジョイン (Joins)

秩序の一部として接続された 2 つの要素の「最小の上界」は、それらの「ジョイン」と呼ばれます。例えば、緑色の要素が他の 2 つの要素のジョインです。

$a$ と $b$ のジョインとは、それらより大きい最小の要素 $c$ を指し、形式的には：

オブジェクト A および B のジョイン: それは対象 $G$ であり、以下の条件を満たす：

• これらの両方よりも大きいので、$A \le G$ および $B \le G$。
• それらより大きい任意の他のオブジェクトよりも小さいので、それらより大きい任意の他のオブジェクト $P$ に対して $P \le A$ または $P \le B$ の場合（実際には双方）、$G \le P$ も成り立たなければならない。（※原文の記述「$P \le A$ and $P \le B$」はおそらく意図せずして逆転しており、文脈から「それらより大きい他のオブジェクト $P$ に対して $A \le P$ かつ $B \le P$ の場合、$G \le P$」であるべきと解釈されます）

任意の 2 つの要素で一方が他方より大きい場合（例：$a \le b$）、ジョインはより大きなその要素（この場合は $b$）自身となります。線形順序の場合、任意の 2 つの要素のジョインは単にその方の要素になります。

最大要素と同じく、2 つの要素が「同様に大きい」複数の上界を持つ場合、それらのいずれもジョインにはなりえません（ジョインは一意でなければなりません）。

しかし、もしその中の 1 つが他の全要素よりも小さいことが確立された場合、直ちにそれが該当します。

【タスク 3】

圏論におけるどの概念が「ジョイン」を連想させますか？

ミート (Meets)

2 つの要素について、「両方より小さい最大の要素」はそれらの「ミート」と呼ばれます。

ジョインに対しては逆になりますが、同じルールが適用されます。

ハッセ図 (Hasse Diagrams)

このセクションで使用する図式は「ハッセ図（Hasse diagrams）」と呼ばれ、通常の図式とは似ていますが、追加の規則に従います：「大きい」要素は常に「小さい」要素よりも上に配置されます。

矢印に換えて言えば、「点を加えた際、その点への矢印は必ず、矢印の出発点よりも上の位置にある」必要があります。

この配置により、2 つの点を比較する際にそれらの間の関係を直接視覚化し、例えば 2 つの要素のジョインを特定するために、それらが接続する要素を確認して最も低いものを見出すことができるようになります。

色の混合による部分順序

私たちは多くの全順序の例を知っています（あらゆる種類のチャートやランキングは全順序ですが）が、頭に浮かぶすぐに obvious な部分順序の例はあまり多くありません。なのでいくつか見てみましょう。これにより文脈を与え、「ジョイン」を理解するのに役立ちます。

形式に忠実に従うために、色の混合に関するモノイドを再訪し、すべての色が含まれる色へ向かうようにする「色の混合による部分順序」を作成しましょう。

一通り確認すると、任意の 2 つの色については、それらを混ぜて作られる色がそのジョインであることに気づくはずです。素敵ですね。

割り算による数字の秩序

数字を「大きいか等しいか」で順序付けると線形順序を形成することは確認しました。しかし、数字はまた別の部分順序も形成します：例えば、「どの数字が他の数字を割り切るか（divides）」という基準で順序付ける場合です。つまり $a$ が $b$ を割り切るなら、$a$ は $b$ より前に置かれます（例：$2 \times 5 = 10$ なので、2 と 5 は 10 より先に来ますが、3 のような場合は 10 より来ません）。

実際には、非常に良い理由があるのですが、ジョイン演算は再び、対象物の文脈において関連する操作に該当します：この部分秩序における 2 つの数字のジョインは、「最小公倍数（Least Common Multiple）」です。

そしてミート（ジョインの逆）となる 2 つの数字の間にあるのは、「最大公約数（Greatest Common Divisor）」です。

包含関係による順序 (Inclusion Order)

あるセットの要素の組み合わせを含む集合のコレクションが与えられたと仮定すると、それらの集合に対する「包含順序」を定義することができます。

集合の包含順序: これは集合のコレクションを順序付けるための二項関係であり、通常は共通要素を持つ集合に対して用いられ、$a$ が $b$ を含む（言い換えれば $b$ が $a$ の部分集合である）場合、$a$ は $b$ より前に置かれます。

この場合、2 つの集合のジョイン演算はそれらの「和集合（Union）」であり、ミート演算はそれらの「共通部分（Intersection）」です。

この図式は何かを思い出すかもしれません。各集合に含まれる色を取り出して混合して 1 つの色を作るなら、先程見た「色の混合による部分順序」そのものになります。

数字の割り約による順序の例も、包含順序と同型であることが知られています：具体的には、基本要素の全可能な組み合わせの集合に対する包含順序です（初等要素は素数で、重複を許します／あるいは素数冪全体の集合）。これは「算術の基本定理」によって確認されます。この定理は、「各数は一意の方法で素数の積として表現できる」と述べています。

ビルコフの表現定理 (Birkhoff's Representation Theorem)

ここまで見てきたのは、2 つの異なる部分順序：「色の混合に基づくもの」と「数字の割り算に基づくもの」であり、これらはどちらもある基本要素（第 1 次の場合は原色、第 2 次の場合は素数または素数冪）の全可能な組み合わせの集合に対する包含順序によって表現できるものでした。この方法で定義できる他の多数の部分順序が存在します。これら正確にどの部分順序かが答えられるのは、素晴らしい結果である「ビルコフの表現定理」によります。同定されるのは以下の 2 つの条件を満たす有限部分順序です：

1. すべての要素がジョインとミートを有する。
2. それらのジョインおよびミート演算は互いに分配律（distribute）を保つ。（つまり、ジョインを $\lor$ およびミートを $\land$ とすると、$x \lor (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z)$ となる）

第 1 の条件を満たす部分順序は「格子（Lattice）」と呼ばれ、第 2 の条件を満たすのは「分配型格子（Distributive Lattice）」です。これをまとめると：

定義: すべての要素がジョインとミートを有する部分秩序を「格子」と呼びます。さらに、そのミートおよびジョイン演算が互いに分配する格子は「分配型格子」と呼ばれます。

そして我々が包含順序の構築に使用する「素（prime）」な要素とは、他のいずれかの要素のジョインとしても表せない要素のことです。これらはまた「接線還元不可要素（join-irreducible elements）」とも呼ばれます。

したがって、この定理を以下のように表現することもできます：

ビルコフの定理: 各分配型格子は、その接線還元不可要素の包含順序と同型である。

補足として、非分配型格子でも、包含順序と同型ですが、それは「全可能な組み合わせを含む」包含順序とは異なり、「すべての組み合わせを持たないもの」と同型となります。

格子 (Lattices)

今から、ビルコフの定理が適用される格子についてさらに詳しく述べましょう。格子とは、任意の 2 つの要素に対してジョインとミートを有する部分順序です。したがって、すべての格子は部分順序ですが、すべての部分順序が格子ではありません（この階層にはさらに多くのメンバーが存在します）。

ある種の規則に基づいて作成された大部分の部分順序は分配型格子であり、例えば前セクションで示した部分順序も、完全に展開すると分配型格子となります（色の混合による秩序などがそれにあたります）。

注意してください。黒い球を上部に、白い球を下部に加えました。なぜなら、それ否则上段の 3 つの要素はジョイン要素を持たず、下段の 3 つはミートを持たないからです。

有界格子 (Bounded Lattices)

我々の色の混合による格子には、最大要素（黒い球）と最小要素（白い球）が存在します。最小および最大要素を有する格子は「有界格子」と呼ばれます。有限な格子はすべて有界であることを容易に想像できます。

【タスク 4】

すべての有限格子是有界であることを証明してください。

順序同型写像 (Order Isomorphisms)

これまで何度も順序同型写像に触れてきましたが、ここで改めて詳細を解説しましょう。

2 つの集合（例として「割り算による数字の部分秩序」と「素数の包含秩序」を使用）について、それらの間の同型写像は以下の 2 つの関数によって構成されます：

1. 素数の包含秩序から数字の秩序への関数（この場合、これは単に集合内の要素すべてを掛けることで実現される）。
2. 数字の秩序から素数の包含秩序への関数（これは「素因数分解」と呼ばれる演算であり、ある数を生成する素数のセットを見つける操作）。

順序同型写像は本質的には、それぞれの秩序の底層集合間の同型（反転可能な関数）ですが、秩序には底層集合だけでなくそれらを結ぶ矢印も存在するため、さらに 1 つの条件があります：反転可能な関数が順序同型写像を構成するには、これらの矢印を尊重しなければなりません。

定義: 2 つの秩序間の同型写像とは、その底層集合間の反転可能関数であり、ある 2 つの要素（これを $a$ と $b$ と置く）が 1 つの集合で特定の順序を持っている場合、この関数（これを $F$ と置く）を適用すると、もう一つの集合でも対応する順序を持つ 2 つの要素が生じることを保証します（つまり $a \le b \iff F(a) \le F(b)$）。

そのような関数は「順序保存関数」と呼ばれます。

先行順序 (Preorder)

前セクションでは、線形順序の法則から完全性を取り除くことで、より興味深い構造である「部分秩序」が得られることを学びました。では、次に別の法則、つまり**反称律（Antisymmetry）**を取り除くとどうなるかを見てみましょう。

反称律は、「あるオブジェクトが同時に他方より小さいかつ大きいとはなりえない」と要求します（すなわち $a \le b \iff b \not\le a$）。

	線形順序	部分順序	先行順序 (Preorder)
要素の比較可能性	$a \le b$ または $b \le a$	$a \le b$ または $b \le a$ またはどちらもない	$a \le b$ または $b \le a$ またはどちらもない または両方とも
反射律	√	√	√
推移律	√	√	√
反称律	√	√	×
完全性	√	×	×

結果として得られる構造は「先行順序（Preorder）」と呼ばれます。

定義: 先行順序とは、集合の要素と、その集合内の要素間の二項関係からなり、反射律および推移律のみを満たすものです。

先行順序は日常的な意味での「秩序」ほど正確ではありません：任意のポイントから他のポイントへ矢印が伸びる可能性があります。部分順序が誰がサッカーで優れているかをモデル化するように使えるなら、先行順序は誰が誰を打ち負かしたか（直接プレーして勝った場合または間接的に）をモデル化するのに使うことができます。

先行順序には法則は 1 つだけです——推移律 $a \le b \land b \le c \to a \le c$（反射律を含めれば 2 つ）。この法則の結果として、間接的な勝利（直接的に対戦して勝ったのではなく、相手の相手を倒したことで勝ちを得た）が自動追加されます。これにより、より弱いプレイヤーがより強いプレイヤーを打ち負かすような「円形的」な関係は、すべて互いに接続されたオブジェクトの集合に簡略化されます。

この構造はすべて、単純な推移律法則から自然に生じます。

先行順序と全等関係

先行順序は、部分順序と全等関係との間における中間的な概念と考えられます。なぜなら、これら 2 つの構造が異なる点は（反）対称性にあるためです。したがって、ある集合内のオブジェクトのうち、その対称律法則に従うもの同士をグループ化すると、それらは先行順序に基づいて「全等類」と呼ばれる別々の全等関係を定義するいくつかの集合を得ることになります。

さらに興味深いことに、これら集合間の要素に対する先行順序の接続を、集合そのものの接続に移し替える場合、それらの接続は反称律法則に従い、結果として部分秩序を形成します。

つまり、要約すると、任意の先行順序に対して、その全等類の部分順序を定義できるのです。

先行順序としての圏 (Preorders as Categories)

先行順序が強力な概念であることを示したので、それらを支配する法則である「推移律」についてさらに深く掘り下げましょう。この法則が教えているのは、「$a \le b$ と $b \le c$ という 2 つの対の関係があれば、自動的に $a \le c$ という第 3 の関係も存在する」ということです。

換言すれば、推移律は $\le$ 関係が「合成（compose）できる」ことを示しています。「大きい方へ」の関係をモルフィズムとみなせば、推移律は圏論における「合成の定義そのもの」であると言えます。（関連性を結合則が成り立つかを確認する必要はあるものの、これは容易です）。

したがって、先行順序は圏なのかどうか気になります。これを実際に確認しましょう。

圏の定義: 圏とは、オブジェクト（点を考えればよい）の集合と、1 つのオブジェクトから他方のオブジェクトへ向かうモルフィズム（矢印）の集まりであり、以下の条件を満たす：

• 各オブジェクトは恒等モルフィズムを有しなければならない。
• 2 つの適切な型シグネチャーを持つモルフィズムを合成して、結合則に従う第 3 のものを作る方法があること。

結合則については推移律がカバーしていますが、恒等性はどうでしょうか？これも「反射律」という名前で持っています。

つまり公式的に——先行順序は圏です（特に、先行順序を集合と関数を用いて包含順序に還元できることや、集合と関数自体も独自の圏を形成するのを見た後では、これは直感的でもあります）。

先行順序は特殊なタイプの圏です（すべての先行順序は圏ですが、すべての圏が先行順序ではありません）。多くの圏では、与えられた 2 つのオブジェクト間に多数の異なるモルフィズムが存在します。例えば、整数の集合とブール値の集合からの関数が無限にあり得るような「集合の圏」などがそうです。

一方、先行順序では、与えられた 2 つのオブジェクト間には至多 1 つのモルフィズムしかありません。つまり、$a \le b$ が成り立つかどうかの二択だけです。

したがって、「モノイドは単一のオブジェクトを有する圏」であるように、「秩序は 2 つのオブジェクト間に至多 1 つのモルフィズムを持つ圏」と言えます。

与えられた 2 つのオブジェクト間には至多 1 つのモルフィズムしか持たないという事実は、先行順序において「すべての図式が可換（commute）する」という興味深い結果をもたらします。

【タスク 6】

これを証明してください。

部分順序と全順序としての圏

私達は部分順序と全順序は先行順序であり、したがって圏でもあると言いました。

特に、先行順序は圏論における「skeletic な圏（skeletal category）」と知られています：同型なオブジェクトが存在しない（つまり、すべての同型なオブジェクトが同一である）圏です。

全順序については特定の「圏論的な」名前は存在しないかもしれませんが、これも種類の 1 つあるカテゴリと言えます。

積と共積 (Products and Coproducts)

以前の章からの図式を再確認しながら、第 2 章の圏における 2 つのオブジェクトの**共積（coproduct）**を定義する図式を見てみましょう。

覚えているように、これは集合の圏において集合包含に対応する操作です。

しかし待ってください、集合包含に対応した別の操作はありませんでしたか？ああそうです、「秩序内のジョイン演算」です。さらに言えば、秩序内のジョインは圏論的な共積と全く同じ方法で定義されます。

共積 $A + B$ の定義: $A$ と $B$ の共積とは、以下の条件を満たすオブジェクトです：

• 2 つの「射影」モルフィズム $A \to A + B$ と $B \to A + B$ が存在する。
• 同様の射影モルフィズム（$A \to I$ および $B \to I$）を持つ任意の「偽の共積」$I$ に対して、一意なモルフィズム $g: A + B \to I$ が存在し、これが真の共積を偽の共積に変換する必要がある。ここで、偽の共積の射影は $g$ と製品の射影との合成となる。

秩序の領域では、私たちはジョインを次のように定義します：

オブジェクト A および B のジョイン: それは対象 $G$ であり、以下の条件を満たす：

• これらの両方よりも大きいので、$A \le G$ および $B \le G$。
• それらより大きい任意の他のオブジェクトよりも小さいので、それらより大きい任意の他のオブジェクト $P$ に対して $P \le A$ または $P \le B$ の場合（実際には双方）、$G \le P$ も成り立たなければならない。（※注：原文の記述通りですが、文脈から「$A \le P$ かつ $B \le P$」と解釈すべき可能性が高いです）

2 つの定義とその対応する図式は基本的に同一であり、「大きい」という言葉だけを「一意のモルフィズムがある」と置き換えた（秩序ではすべてのモルフィズムが一意だから）だけです。

圏論的な用語で言えば、私たちは言えます：

圏論的共積: 先行順序の圏における共積はジョイン演算です。

もちろんこれは、積（products）がミート（meets）に対応することを意味します（双対性）。

形式的定義

圏論的な用語で言えば、「与えられた型シグネチャーに対して至多 1 つのモルフィズムを持つ圏」とは「薄い（thin）」圏と呼ばれます。

定義: 任意の先行順序は、2 つの与えられたオブジェクト間に至多 1 つのモルフィズムを持つ圏として見ることができます——もし 1 つのオブジェクトが他方より大きいなら、それらの間にはモルフィズムが存在します。逆も真です：2 つの与えられたオブジェクト間に至多 1 つのモルフィズムを持つ任意の圏は、先行順序（あるいは同様に「薄い圏」）として見ることができます。

薄い圏は、通常の（非薄い）圏よりも理解しやすく、圏的概念を探索する文脈としてよく使用されます。例えば、我々は見たように、ミートとジョインといった秩序論的な概念を理解することによって、より一般的な積と共積といった圏論的な概念をより深く理解することができます。

また、単にシンプルさを維持したい場合や、1 つのオブジェクトから他方へ向かうモルフィズムの違いに特に興味がない場合にも薄い圏は役立ちます。次の章でそのような例を見ていく予定です。