カントールがデーデキンを盗作したという新たな証拠？

Japanese Translation:

要約

リヒャルト・デーデンキンドがグテオルク・カントールに送った1873年11月30日付の新たに回収された手紙は、カントールの1874年に発表された「無限の異なる大きさ」を証明する際に採用された重要なアイデア―すなわち代数的数が可算であることを示す証明―が、実際にはデーデンキンドが既に開発していたものであったことを示しています。この手紙は第二次世界大戦中に失われましたが、2024年にジャーナリストのデミアン・ゴースによってカントール協会のアーカイブから再発見され、カントールがデーデンキンドへのクレジットを欠いたという長らく疑わしい主張が裏付けられました。

1930年代にエミー・ノイターのコレクションやデーデンキンド自身のメモから、剽窃の早期の兆候が見られました。歴史家ジョゼ・フェレリョス（1993）はすでにカントールを非難しており、他の学者は証拠が不完全だったため彼を擁護しました。この論争はカントールとデーデンキンドとの関係を緊張させ、通信を終わらせ、ドイツ学術界からのカントールの周縁化へとつながりました。

この一次資料が公にされたことで、学者たちはカントールの遺産を再評価し、集合論の教育や称賛の方法を改訂する可能性があります。また、この発見は数学的進歩の協働的な性質を強調し、著作権、クレジット、および歴史記録保持に関する問題を浮き彫りにします。

1874年に発表された論文で、ゲオルク・カントールは無限の異なる大きさを証明し、数学を永遠に変えました。しかし、新たに掘り起こされた手紙群は、その業績が盗作行為でもあったことを示唆しています。

昨年3月12日、デミアン・グースがカリン・リヒターのオフィスへ足を踏み入れたとき、彼が最初に目にしたのは部屋隅に立つ高い台座の上に置かれた像でした。そこには、薄顔で老年期の男性―古典的なイメージの「カントール」―が厳粛な表情で佇んでいました。歴史が語る彼――知識人として揺るぎない意志と強い意思を持ち、同僚たちの騒々しい反対にも屈せず数学革命を起こそうとする人物――です。

ここ、ドイツ・ハーレ大学でカントールは150年前に自らの革命を開始しました。1874年、彼は現代数学史上最も重要な論文の一つを発表し、長い間忌避されてきた概念「無限」を具体化しました。この論文は、数多くの学者が抱いていた長らく確立された前提を問い直させ、数学そのものの基盤を揺るがせ、新しい分野を生み出す契機となりました。

35歳の数学者兼ジャーナリストであるグースは、自身の故郷マインツから5時間の電車旅でハーレに来て、カントール遺産の手紙を閲覧する予定でした。彼は既に1通のスキャンを見ており、他の手紙も同様だと確信していましたが、実際に手元で確認したいと思っていたのです。

リヒター――カントールと同じくここで一生を費やし、退職後は数学史の講師として活動する女性――はグースに座るよう促しました。彼女は机の上に散らばった本と書類の山から薄い青いバインダーを取り出しました。その中には数十枚のプラスチック製シートプロテクターが入っており、各々に古い手書きの手紙が収められていました。

グースはそれらを翻しながら、考古学者が長く失われた墓を開くような興奮で手紙を眺めました。そしてあるページへ到達すると、息を呑むほどに震えました。呼吸を整えるのに必死でした。

筆跡ではなく――彼はすでにカントール研究の中で、1900年頃までドイツ人が使用していた「クルンターシュリフト」と呼ばれるほぼ読めないゴシック体に慣れ親しんでいました。署名でもなく、彼はドイツ数学者リヒャルト・デーデキンドがカントールの無限観を理解し数学基盤を固める上で重要な役割を果たしたこと、二人が多くの手紙をやり取りしていたことを知っていました。

そこで彼が気づいたのは1873年11月30日という日付でした。これはこれまで誰も見たことのない、失われたと信じられていた手紙であり、第二次世界大戦中に破壊されたか、あるいはカントール自身が処分したものとされていました。この手紙こそが、カントールの遺産を再書き換える鍵となる可能性があったのです。

知識人たちの対面

カントールは1845年にロシア・サンクトペテルブルクで生まれました。11歳のとき父親が病に倒し、家族は危険なロシアの冬を避けるためドイツへ移住しました。彼は一生をここで過ごし、アクセントも失い、しかし養子縁組された土地に完全には馴染めていたと感じていました。

父親が弱っていく中、カントールは兄弟のうち最年長にすべての期待を託しました。彼の確認のために、父は15歳の少年へ「多くの有望な才能は自らの考えに抵抗する者によって敗北される」という警告の手紙を書きました。「揺るぎない宗教的信念こそが、もう一度『壊れた天才』になることを防ぐ唯一の方法だ」と語り、彼は「科学の地平線に輝く星として自らの可能性を実現するには、反対者に立ち向かい続けなければならない」と結びつきました。この手紙は生涯持ち歩いたと伝えられています。

その精神的姿勢を内面化し、カントールは数学へと道を開きました。彼自身が語るように、「未知なる声が呼んでいる分野こそが数学だ」と考えたのです。18歳で父親が亡くなった際には遺産を利用してベルリン大学に入学しました。

そこで、衝突が始まりました。

カントールは常に自らの足跡を残そうとした―1890年代まで彼の野心は深刻なうつ病へと進んでいった

ETH‑Bibliotek Zürich/Science Photo Library

問題は無限でした。数学者たちは何千年も前から、数がどんなに大きくてもさらに大きな数を命名できるという性質を扱う抽象化の手段を発明していました。しかし無限には独自の問題が伴います。古代ギリシャ哲学者ゼノはそれを利用して多くのパラドックスを作り出しました。無限が登場すると、サイズや加算といった直感的な概念が崩れ落ちるように見えました。

さらに無限は宗教上の挑戦も提示しました。キリスト教神学では、神はすべての創造物より大きく、その唯一の真の無限だとされていました。日常的な数学者がこの測れない量を制御できるようになるなら、それは神に対する冒涜となり、聖職者の権威に挑戦することになります。

何千年もの間、数学者たちは無限を「便利なトリック」だとみなし、実際には有効な数学的実体ではないという合意でこれらの危険を回避してきました。1831年にカール・フリードリッヒ・ガウスが書いた手紙でも、「無限はただの言い回しだ」と述べていました。

しかし数十年後、無限は見過ごせない存在へと変わっていきます。数学者たちは最も基本的な概念を再検討しようとし、それらをより正確に定義することを望みました。数とは何かという理解さえ揺らぎ始めていたのです。

そこに登場した静かなドイツ人数学者リヒャルト・デーデキンド

1858年、彼は実証的に実数（数直線上の任意の点）を厳密に定義する方法を見つけましたが、その発見を公表しませんでした。1870年、カントールはデーデキンドの業績を知らずに卒業研究を終え、ある種の方程式がどのように振る舞うかという実務的な質問を調査していました。彼はまだ数の本質について哲学的な関心を持っていませんでしたが、結果として自身で実数の定義を思いつきました。

1872年初頭、デーデキンドとカントールはそれぞれ独立に成果を発表しました。両者とも革命的だった――数直線を再定義したのです。

ここにカントールの画期的論文が登場

1874年の彼の論文は、長らく「無限」と呼ばれ忌避されてきた概念を具体化しました。これは数学者に長い間抱かれていた前提を問い直させ、数学全体の基盤を揺るがし、新しい分野を生み出す契機となりました。

ストーリー探求

グースはいつもアルゼンチンで自宅にいる方が居心地よいと感じていました。彼はマテという南米のハーブティーを飲み、定理の裏にある物語に惹かれました。余暇には数学思想の歴史を読み、その劇的な再現を仲間に語ります。ポスドク時代には、解釈ダンスで学生に数概念を示すこともありました。

2020年、まだポスドクだった彼は病に倒れ、治療のため頻繁にドイツへ戻らざるを得ませんでした。数年後、完全に転居し、ポスドクを終えた時には健康が回復し、学術界から離れて物語への愛情を追求する決意を固めました。2023年初頭、ベルリン自由大学でサイエンスジャーナリズムフェローシップに入団し、ポッドキャスト制作に注力しました。

学校ではカントールが集合論の創始者であり、1874年に発表した証明によって無限の異なる大きさを示し、無限は単なる数学的トリックではなく真実であることを確立したと学びました。グースはカントールの発見についてポッドキャストを企画しましたが、真実は彼に語られた以上に複雑だと気づきました。

真実

カントールは孤高の天才ではありませんでした。彼にはある時期パートナーがいました。同じ志を持つ数学者に会うたびに、彼は夜明け前にその居住地へ急行し、新しいアイデアについて熱烈に語り合いました。その対象がデーデキンドでした。1873年11月、カントールは数直線の無限性を追求する情熱を発露し、デーデキンドに「両集合を一対一対応させられるか」と尋ねました―つまり実数と整数を一対一で対応付けることができるかどうかです。カントールは有理数（分数として表せる数）がそれぞれ唯一の整数に割り当て可能であり、数え上げ残しがないことを証明しました。つまり、有理数と整数は同じ大きさ、いわゆる「可算」であるという結論です。

しかしカントールは実数と整数を同様に比較する方法を見つけられませんでした。デーデキンドはすぐに答えました―彼もできないが、代数的数（代数方程式の解として得られる数）は可算であることを証明したということです。

トロイの木馬

カントールは自分の成果をクレルズジャーナルに掲載したいと考えました。この学術誌は世界的に名高く、彼は「代数的数」だけを示す誤解を招くタイトルを選びました。さらにその下には実際にはデーデキンドの簡略化された証明を自ら書き込み、実数が可算できないことを示しました。しかしカントールはこのセクションの真の重要性を過小評価し、自身の著者権だけを主張しました。デーデキンドの貢献を示す痕跡―専門家なら知覚できる用語の散見など―も丁寧に消去しました。

最初の証拠

エミー・ノイターヘはデーデキンドの弟子でした。1930年、彼女は彼の数学的業績を四巻にまとめる作業中に、カントールとの手紙を発見しました。フランス哲学者ジャン・カヴァリエ＝リュで協力し、これらを出版しました。

書籍に示されたやり取りは1872年にカントールとデーデキンドが出会った直後から始まりました。手紙には彼が受け取ったものだけが含まれ、送信したものは記載されていませんでした。その後、1月1874でやり取りが突然終了し、その後数年間沈黙が続きました。1977年に再開された際には、デーデキンド自身からカントールへの手紙も掲載されるようになりました。

また、デーデキンドはカントールの1874年論文を目にした後、自分で書いたと考えられる「私は最初の証明を書き、修正版も送ったが、両方ともほぼ同じ言葉でカントール名だけで掲載された」と自記したノートを残していました。彼は公にこの主張を示さず、ノイターヘとカヴァリエ＝リュもコメントしませんでした。

失われた手紙

グースは自由時間に失われた手紙を探していました。2024年夏、彼はデーデキンドからカントールへの手紙のようなものの断片的スキャンを偶然見つけました。このページは「Georg‑Cantor‑Vereinigung」というウェブサイト上に掲載されており、1877年の日付が示されていました。すでに歴史記録に残っているデーデキンドの下書きでしたが、カントールへ送ったコピーについては一切の記録がありませんでした。

数ヶ月後、グースは同じウェブページを再び閲覧し、2009年に相続人から手紙が寄贈されたことを確認しました。彼はその相続人が誰であるかを調べました―それはカントールの曾孫娘アンジェリカ・ヴァーレン博士であり、ハーレに住んでいました。彼女は手紙をハーレ大学へ寄贈し、その結果、カントール協会の会長である数学教授カリン・リヒターがその資料を管理していることが判明しました。

グースはリヒターと連絡を取り、2025年3月に彼女から渡された薄い青いバインダーを開けました。中には1873年11月30日の日付でデーデキンドの細かい筆跡が残る手紙が収められていました。その本文は「代数的数」というフレーズを多用しており、下部に「最も献身的なあなたへ――ブラウンストック、1873年11月30日」と明確に署名されていました。

より真実の遺産

今日、カントールはデーデキンドより遥かに高い評価を受けています。両者とも数学基盤に大きく貢献しましたが、カントールは無限を掌握し集合論（現代数学全体で使用される言語）を発明したとされることが多いです。その名声は伝記や人気書によってさらに強化されています。

しかし、1874年の論文に隠された真実は90年以上にわたり公表されてこなかったものの、人々が語りたくないタイプの物語ではありません。「科学の各分野にはヒーローが必要だ」とフェレイロスは言いました。「化学はラヴォアジエ、力学はニュートン、相対性理論はアインシュタイン。常に一人の英雄が存在するのです。ただし、それはいつも嘘である。」

明らかになったこと

手紙はカントールがデーデキンドから「代数的数の集合が整数と同じ大きさである」という証明を盗作したことを示しています。これはカントールの遺産を根本的に壊すものではありません――彼は依然として実数と整数の差異を初めて証明し、無限研究への道を切り開いた人物です。ただし、デーデキンドが数学史上最も偉大な発見の一つである結果に果たした役割を認識させ、カントールのヒーロー像を人間的な真実へと修正することができました。