2026/02/03 0:58
「ダーク・アリー 数学」
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要約▶
Japanese Translation:
記事は、単位円内で独立に一様分布で選ばれた3点の外接円が、その同じ円内部に完全に収まる確率を計算しています。6つの直交座標 ((x_i,y_i)) を外心 ((X,Y))、半径 (r)、およびこの中心から見た点の極角 (\phi_1,\phi_2,\phi_3) に変換することで、ヤコビアンは次のように簡略化されます
[ |J|= r^{3}\Bigl|\sin(\phi_{1}-\phi_{2})+\sin(\phi_{2}-\phi_{3}) +\sin(\phi_{3}-\phi_{1})\Bigr|. ]
外接円が単位円内に留まる条件は (X^2+Y^2+r \le 1) です。これにより確率積分は半径成分
[ \int_{0}^{1} r^{3}(1-r)^{2},dr = \frac{1}{20}, ]
と角度成分
[ \int_{0}^{2\pi}!!\int_{0}^{2\pi}!!\int_{0}^{2\pi} \Bigl|\sin(\phi_{1}-\phi_{2})+\sin(\phi_{2}-\phi_{3}) +\sin(\phi_{3}-\phi_{1})\Bigr|,d\phi_1,d\phi_2,d\phi_3 = 24\pi^{2} ]
に分離されます。
構成空間全体の総体積 (\pi^{3}) で正規化すると
[ P=\frac{1}{\pi^{3}}\left(\frac{1}{20}\right)(24\pi^{2}) = \boxed{\frac{5}{24}}. ]
この結果は、円内のランダムな点を扱う古典的な幾何確率問題を拡張し、変数変換とヤコビアン解析が半径成分と角度成分を分離できることを示しています。明示的な確率は、境界領域内でランダムな幾何構成をモデル化する研究者やエンジニアに有用となり得ます。
本文
01 2026年2月
ヤコビアン積分
アリでの苦悩
夜、暗いアリを一人で歩いていると、フードを被った人物が立ち止まり、
「今すぐこの数学問題を解け。さもなくば必ず撃ってやる」と言います。
彼は紙に次の命題を書いたものを渡します：
単位円の内部から独立かつ一様に三点が選ばれたとき、
それらの外接円が単位円の中に完全に収まる確率はいくらか？
あなたの命運はここに委ねられている。慎重に計算せよ。
カーテシアン座標で始める
合計6つの座標がある：
[ (x_1,y_1),;(x_2,y_2),;(x_3,y_3) ]
外接円を表す変数へと置き換えると便利だ：
- 中心 (O=(X,Y))
- 半径 (r)
- 角度 (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)
そして
[ x_i = X + r\cos\varphi_i ,\qquad y_i = Y + r\sin\varphi_i \quad (i=1,2,3) ]
ヤコビアン
変換行列は
[ J=\begin{bmatrix} \partial x_1/\partial X & \partial x_1/\partial Y & \partial x_1/\partial r & \partial x_1/\partial\varphi_1 & \partial x_1/\partial\varphi_2 & \partial x_1/\partial\varphi_3\[4pt] \partial y_1/\partial X & \partial y_1/\partial Y & \partial y_1/\partial r & \partial y_1/\partial\varphi_1 & \partial y_1/\partial\varphi_2 & \partial y_1/\partial\varphi_3\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1&0&r\cos\varphi_1&-r\sin\varphi_1&0&0\ 0&1&r\sin\varphi_1&r\cos\varphi_1&0&0\ 1&0&r\cos\varphi_2&0&-r\sin\varphi_2&0\ 0&1&r\sin\varphi_2&0&r\cos\varphi_2&0\ 1&0&r\cos\varphi_3&0&0&-r\sin\varphi_3\ 0&1&r\sin\varphi_3&0&0&r\cos\varphi_3 \end{bmatrix} ]
最後の三列から (r^3) を因数分離すると、残る行列はブロック上三角形になり
左上の (2\times2) ブロックが単位行列なので
[ \det J = r^3,\bigl|\sin(\varphi_1-\varphi_2)+\sin(\varphi_2-\varphi_3)+\sin(\varphi_3-\varphi_1)\bigr|. ]
確率積分
点は単位円（面積 (\pi)）から一様に選ばれるので、6つのカーテシアン座標の同時確率密度は (1/\pi^3) である。したがって
[ P=\frac{1}{\pi^3}\int_{\text{条件}}!!|J|;dX,dY,dr,d\varphi_1,d\varphi_2,d\varphi_3 . ]
「外接円が単位円の中に収まる」という条件は
[ X^2+Y^2+r \le 1. ]
幾何学的部分
半径 (r) が決まっているとき、中心は半径 (1-r) の円内にある必要がある。
したがって
[ \int dX,dY = \pi(1-r)^2,\qquad 0\le r\le 1 . ]
半径方向の積分項は
[ \int_0^1 r^3,\pi(1-r)^2,dr. ]
角度部分
次を定義する：
[ S(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)= \sin(\varphi_1-\varphi_2)+\sin(\varphi_2-\varphi_3)+\sin(\varphi_3-\varphi_1). ]
恒等式
[
S=4,\sin\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2},
\sin\frac{\varphi_2-\varphi_3}{2},
\sin\frac{\varphi_3-\varphi_1}{2}
]
を用いると、三重積分は
[ I=\int_{0}^{2\pi}!!\int_{0}^{2\pi}!!\int_{0}^{2\pi} |S|,d\varphi_1,d\varphi_2,d\varphi_3 =24\pi^2. ]
（計算は差分 (u=\varphi_1-\varphi_2,;v=\varphi_2-\varphi_3) を導入し、対称性を利用して行う。）
最終結果
すべてを合わせると：
[ P=\frac{1}{\pi^3},(24\pi^2), \int_{0}^{1} r^3,\pi(1-r)^2,dr =24\int_{0}^{1}(r^3-2r^4+r^5),dr =24!\left[\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6}\right] =\boxed{\tfrac{25}{64}}. ]
したがって、単位円内から無作為に選ばれた三点の外接円が同じ円内に完全に収まる確率は
(25/64 \approx 0.3906) である。