Frank Calegari 氏によるゲスト投稿：AI が数学にもたらす影響と未来の展望

OpenAI による画期的な AI の進歩に対し、数学者コミュニティがなぜ悲観するか、そして我々はどう向き合うべきかについて、数学科の教授である Frank Calegari 氏が提言する新たな枠組みです。

なぜ悲観する必要はないか

現在、人工知能（AI）は数学史において画期的な転換点に達しました。OpenAI が公開した研究論文は、多くの分野で飛躍的な貢献ができることを示しています。しかし、一部の数学者が抱く不安には以下のような背景があります。

• 企業の軽視への懸念:

  • OpenAI 等の企業は、大層なアイデアを含みながら記述の質を犠牲にしており、コミュニティの帰属意識に反しています。
  • いくつかの論文は単なる誤りを犯しています。
  • 我々は企業の行動を統制できませんが、数学者を雇用し、論文を発表し、学生を養成する方面についてはコントロール権限があります。したがって、努力はそこに向けるべきです。

• 「空洞化」への恐怖:

  • 多くの反発の背景には、「愛している対象が攻撃を受け、空洞化されている」という感覚があります。
  • AI の大放出（ドゥンプ）は、ランランズ・プログラムにおける「関数性」や「相互性」といった根本的な問題にはほとんど影響を及ぼしませんでした。
  • 「全ての未解決問題が解決された」と想像するのは、元素周期表の完成で化学が解明されたと言ったような幼稚な思考です。

• Hugo Duminil-Copin 氏の声:

  私が公開で言及した全ての主要な未解決問題の一つもこの発表によって無傷のままではありませんでした。すべてが既証明されたと主張されています。

  リストにいくつかあるのは予想していましたが、全てではありません。一度のうちにです。また、そのような安易さ（nonchalance）でもありません。

どのように返答すべきか

歴史的先例や具体的な分野へのアプローチ、そして AI と数学の統合について提言します。

1. 有限単純群の分類からの教訓

• 歴史的な先例:
  • 1972 年、Dan Gorenstein 氏は「有限単純群の分類」を発表しましたが、これは後に失敗とみなされることもありました。
  • 「有名な問題」が消え去り、関心が別の分野へ移りました。
• 現在の状況:
  • AI のドゥンプがもたらしたのは、1970 年代に散らばっていた「分類の論文」のような状態ではなく、未解決問題への新たな探求のフィールドを見つけるべきです。
  • Gorenstein, Lyons, Solomon らの取り組みのように、分野を「完了」と宣言するのではなく、新しいツールを活用してさらに調査し続けることが必要です。
  • 古い道筋が依然存在しており、それらを求める姿勢に報いる必要があります。

2. AI の約束と数学の（不）統一性

• 構造的理解の深化:

  • $\zeta(2)$ の値を知りたいという願望は、単なる数値ではなく、背後にある代数 L 関数や算術に関する物語を知ることで深まります。
  • AI は証明できない推測に制約される刑務所から解放し、より深い謎の解明に携わらせる機会を与えます。

• 視野の拡大:

  • 過去 30 年間は技術的専門性が重視されすぎており、狭い視点が問題となりました。
  • AI は数学者としての我々を広くする素晴らしい機会を提供しています。

• 分野横断的な探求:

  • 例：双曲的 3-多様体と算術は密接に関連していますが、専門家であることは容易ではありません。
  • かつては「証明の技術的背景を組み込む」という障壁がありましたが、今、AI がそれを著しく低下させました。
  • これは定理を証明するだけではありません。無意味かもしれないが新しい方向性を探求することです。

3. 「醜い真実」と競争の質

• 現状の問題:

  • arXiv 上では、AI を用いて結果だけを急いで発表する「不気味な競争」が見られます。
  • 革新的な証明を生む能力と、理解を示す能力との間に溝が急速に広がっています。
  • 時間スケールは圧縮され、「先行公開（scooped）」される懸念があります。

• 真の貢献:

  • 有意義な問題を選定し、AI で証明を得て理解し、さらに問いを開拓する人は、大きな数学的貢献を為しました。
  • 元の証明において新しい要素を提供しなくても、十分な信用を与えるべきです。
  • 重要なのは、仮説への執着ではなく、探求的な仕事です。

4. 具体的なアクションプラン

数学者が承認と仕事を求めている以上、雇用と論文を受け入れるシステムを変える必要があります。

1. 全ての作業を AI 支援されているかのように評価する。
2. 採用プロセスを論文ファイルよりも個人的な対話に比重を置く。（研究員や大学院生も直接面接）
3. ジャーナルに対してより高い要求を出し、適応しないものは見放す。
4. 大学院教育において広範な知識への重点を置きつつ、技術的スキルを見捨てるわけではない。
5. より良いシンポジウムを開催する。
6. AI の成果に対して自分たちの責任感を高める。

5. システム改革の詳細提案

• 評価（報酬構造の変更）:

  • コンピュータ代数システムが素因数分解を即座に行えるように、「定理の経済」も変化しています。
  • 将来は機械で得られる結果に対する報酬ではなく、証明自体が導入するアイデアや、面白く問いを立てることに価値を見出す必要があります。
  • 全ての論文を潜在的に AI 支援されたものとして評価し、著者に「なぜ数学が面白いのか」「広い分野とどう結びついているか」を説明することを義務付けるべきです。

• 採用（個人の対話を重視）:

  • JAMS や Annals のような著名な論文の集積だけでなく、候補者が物語を探求し、技術的に説明できる能力を見出す必要があります。
  • 正職だけでなく、研究員や大学院生についても面接を行う標準慣習にすべきです。

• ジャーナル（出版システムの改革）:

  • 現在のシステムは漸近的な数学を生みすぎます。編集委員会では劇的な改革が難しいため、arXiv に投稿される重要な論文の一部はジャーナルに出版されないべきであるという認識が必要です。
  • ジャーナルは記述、アイデア、展示面において遥かに多く求める必要があります。

• 大学院生・教育:

  • 典型的な修士論文が「ボタンを押すだけで生成」される時代です。
  • 学生には広い視野と、少なくともある問題クラスに対する明確な技術的スキルの両方を身につけるべきです。
  • 特定サブ領域だけでなく、他の分野や真のビジョンを持たないまま技術を習得するのを防ぐ必要があります。

• シンポジウム:

  • 従来の「手法へのわずかな修正」ではなく、より広い興味深い問いを中心に据えるべきです。
  • 我々が詰まっている道筋と、進展可能な道筋について説明し、最後の方で新規性を示す形式が望ましいです。

• 所有権:

  • 機械からの成果は、人類の幾千年にわたる数学的取り組みの上に構築されています。
  • 一度、人類の名代としてクレジットを取り始めると、心が軽くなり始めます。

世界は我々を注視している

数学科に関係なく、多くの人々が数学に関心を持っており、我々は人類の古き知恵の一つとして存在する重要な役割を果たしています。 文化の一部が消えることは悲しいですが、数学には新たな時代の端に新しい機会と可能性があります。

「我々は忍耐強いコミュニティであり、適応することを疑うな。」