2026/10/07 23:10

11 正方形の最適パッキングに関する AI を活用した証明

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要約▶

日本語翻訳：

次の改良版は、詳細なリストに基づいてすべての主要点を維持しつつ、流れと精度をわずかに向上させています。

まとめ

主な成果は、EvolvedPrograms フレームワークを用いたネイティブ数値証明を用いて最適性の証明の検証に成功したことです。この厳格な検証は 7,920 のローカル Lean モジュールすべてをエラーゼロで承認し、

native_decide

を高コストなチェックに利用しながら、幾何学とアセンブリコードに関する標準的な証明を維持しました。特に重要な点は、最終的な定理が Lean のカーネルとコンパイラの両方に依存しており、限定的な「カーネルのみ」という主張を否定したことです。ネイティブ証明書を信頼モデルに統合することにより、このプロジェクトは複雑な数学ソフトウェアに対する信頼性を向上させています。

検証された解は、多項式 $5u^8 - 10u^7 - 2u^6 + 14u^5 + 12u^4 - 6u^3 + 2u^2 + 2u - 1 = 0$ の区間 $(9/25, 37/100)$ 内における一意の根に対応する、およそ 3.877（具体的には ~3.8770835900228141773）という辺長を与えます。この構成は任意の向きと非連結な開内部を許容します。検証環境はピンされたソース（コミット

1bf942a...

）および

verification/native-certificates.json

に記録された正確なソースハッシュを通じて厳密に制御されています。再現には、Lean 4.34.1、Mathlib (

d13f23b...

) の特定のバージョンと変更されていない

lake-manifest.json

を使用するとともに、定義済みの環境内で専門的なスクリプト（例:

run_verification.sh

）を実行する必要があります。

ElevenSquare/Optimality.lean

での公的なステートメントおよび完全な T03 ソースツリーは、以前のメインブランチから変更されていません。このマイルストーンは、業界ユーザーが不正な逸脱なく信頼を持って結果を再現できるようになる、検証済みの数学計算の新たな基準を確立します。これには

Foundations.lean

、

Verification.lean

および幾何学的な引理タスクなどの主要ファイルが含まれます。

主要ポイントリスト

完全な最適性の証明は、EvolvedPrograms フレームワークを用いたネイティブ数値証明書を使って検証に合格しました。
検証実行は、エラーゼロおよび最終監査レポートとともにすべての 7,920 のローカル Lean モジュールを受け入れました。
検証ソースはコミット
```
1bf942a7af1ea330e95489d8997deebd4227ca71
```
からピンされています。
高コストな数値証明書チェックには
```
native_decide
```
が利用され、幾何学および証明アセンブリは通常の Lean 証明を維持します。
最終的な定理は Lean のカーネルとネイティブコンパイラを信頼しており、これは「カーネルのみ」の検証主張ではありません。
承認された数値宣言およびソースハッシュは
```
verification/native-certificates.json
```
に記録されています。
最適な辺長の公式には $u$ が含まれ、それは多項式 $5u^8-10u^7-2u^6+14u^5+12u^4-6u^3+2u^2+2u-1=0$ の区間 $(9/25, 37/100)$ における一意の根です。
この構成はおよそ 3.8770835900228141773 という近似値に達し、任意の向きおよび非連結な開内部を許容します。
```
ElevenSquare/Optimality.lean
```
での公的なステートメントおよび完全な T03 ソースツリーは、以前のメインブランチから変更されていません。
主要なリポジトリファイルには、幾何学のための
```
Foundations.lean
```
、公理照会のための
```
Verification.lean
```
、幾何学的引理タスクのための
```
Tasks
```
が含まれます。
再現には、Lean 4.34.1 および Mathlib リビジョン
```
d13f23b723b8a846827a245b89c10fc7d3f11612
```
と変更されていない
```
lake-manifest.json
```
が必要です。
検証スクリプトには、成功するために
```
OPTIMALITY_PROVED_WITH_NATIVE_CERTIFICATES
```
が必要とされる bash の
```
run_verification.sh
```
および python の
```
check_sources.py
```
が含まれます。

本文

Lean（Leaning）における 11 正方形パッキングの最適性証明

完全な最適性の証明が、ネイティブの数値証明書を用いて検証されました。

検証結果:
```
EvolvingPrograms
```
の検証実行により、7,920 のローカル Lean モジュールすべてが受諾されることが確認されました。
監査報告書: 承認件数はゼロです。
ソースの固定: 本リポジトリは、コミット
```
1bf942a7af1ea330e95489d8997deebd4227ca71
```
から正確な証明ソースおよび固定されたビルド構成をインポートしています。
検証範囲の詳細: 詳細については検証報告書をご参照ください。

数値証明書と検証手法

厳密なチェック: 一部の高コストで厳密な数値証明書チェックには
```
native_decide
```
が使用されています。
一般的な証明: 幾何学的な部分、チェッカーの健全性、および証明の組み立てについては通常の Lean 証明が維持されています。
信頼モデル: 最終的な定理は Lean のカーネル と ネイティブコンパイラー を信頼しており、「カーネルのみによる検証」という主張ではありません。
記録されたデータ: 承認された数値宣言とその正確なソースハッシュ値は、
```
verification/native-certificates.json
```
に記録されています。

最適解の数学的構成

最適な辺の長さ $T$ は以下で定義されます。

$$ T = \frac{6u+4}{1+2u-u^2} $$

ここで $u$ は、以下の多項式を持つ一意の根です。

$$ 5u^8-10u^7-2u^6+14u^5+12u^4-6u^3+2u^2+2u-1=0 $$

定義域: $u$ は区間 $(9/25, 37/100)$ に存在します。
達成値: この構成により、約 3.8770835900228141773 という値が達成されます。
モデルの要件:
- 任意の向きを許容
- 法則的な境界との接触を許容
- 互いに排反な開集合となる内部を許容

公開された陳述事項（

ElevenSquare/Optimality.lean

）および完全な T03 ソースツリーは、前回のメインブランチからの変更はありません。

ファイル構成とエントリーポイント

ファイル	目的
`ElevenSquare/Foundations.lean`	幾何学、正確な終点値、構成の達成、閉じたセルのカバー、ならびに有限ケースへの還元。
`ElevenSquare/Pending/`	統合済み: 元々の公開インタフェースだが、統合された証明により既に解消済み（歴史的名称）。
`ElevenSquare/Interop/Wand125/`	組み込まれた上流の証明書結果との接続部分。
`ElevenSquare/Tasks/`	幾何学的議論、チェッカー、証明書データ、ならびにローカル解析的証明。
`Sqpack/`	組み込まれた証明書チェッカー、生成された証明、および簡略化処理。
`ElevenSquare/Optimality.lean`	条件なしの最適性定理および辺長に関する下限値定理。
`ElevenSquare/Verification.lean`	公開された証明目標に対する公理的クエリ。

検証手順と再実行方法

環境要件

Lean バージョン: 4.34.1（固定）

Mathlib リビジョン:

d13f23b723b8a846827a245b89c10fc7d3f11612

（固定）

注意:
```
lake-manifest.json
```
ファイルは変更しないでください。

実行コマンド

Linux（Python 3, Git, curl, tar の使用時）

scripts/run_verification.sh --bootstrap --jobs 2

macOS

まず
```
elan
```
ランチャーをインストールしてください。
その上で、上記と同様のコマンドを使用します。
- ```
elan
```
  が既にインストールされている場合、
```
--bootstrap
```
  オプションは固定されたツールチェーンおよび依存関係キャッシュを準備します。

実行オプションと注意点

並列処理: 作業数（
```
--jobs
```
）については、利用可能なマシンの規模に合わせて適宜選択してください。
モジュールのコンパイル: シーケンシャルに行われます。
キャッシュの活用: 既存の有効な領収書（検証結果）は再利用可能です。
- 完全な再実行を強制するには
```
--fresh
```
  オプションを追加します。
- 中途中止める場合は
```
Ctrl+C
```
  でクリーンに停止できます。

このコマンドは以下のすべてをチェック・実行します：

すべてのローカルモジュール
最終的なソース、領収書、依存関係、公理的監査

重要: 最終結果において「OPTIMALITY_PROVED_WITH_NATIVE_CERTIFICATES」の要求を満たし、承認件数がゼロであることを確認してください。信頼モデルとして

lean_kernel_and_native_compiler

を指定しています。

単にコンパイルされたモジュールの 100% に達するだけでは十分ではありません。

ソースチェック（Lean を使用しない場合）

python3 scripts/check_sources.py

手動ワークフローと制限事項

成否が確認されたソース実行には、EvolvingPrograms の大規模ランナー が使用されています。
冷起動時の保証: macOS における冷起動時の実行環境や、2〜3 時間という保証は確立されていません。
代替禁止: これらのスナップショットに対しては、歴史的マテリアライゼーションコマンドまたは
```
verify.py --setup
```
を実行しないでください。これらは代替された生成済みソースを復元するためです。
ログ保存: ビルド対象物およびログは、無視対象の
```
.lake/
```
および
```
.verification/
```
ディレクトリに保存してください。

謝辞と源流について

形式化および検証に関する作業に対し、以下の皆様へ深く感謝申し上げます。

EvolvingPrograms
@ctjlewis
すべてのプロジェクト貢献者

詳細な情報については以下のドキュメントをご参照ください。

クレジット: 個別および上流へのクレジットは
```
ACKNOWLEDGEMENTS.md
```
に記載。
源流: ソースの履歴は
```
PROVENANCE.md
```
に記載。
免責事項: 保持されている免責事項は
```
integrations/wand125
```
をご参照ください。
歴史的データ: 歴史的な簡略化に関する注釈ならびに部分的監査記録は保存されており、「未完了ステータス」に関する古い陳述事項は、完了した実行の報告書によって代替されています。

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2026/10/08 3:01

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