ブラウン運動：ランダムウォークから正規分布への収束

導入：ランダム性から確率論へ

水に浮遊する花粉粒は、時間経過とともに鉛直方向の位置をたどり、ぎざぎざとした不規則なパスを描きます。しかし、このランダムな動きには、背後にある法則性が隠されています。

• 歴史的な背景
  • 1830 年代、スコットランドの植物学者ロバート・ブラウンが花粉粒の不規則な運動を観測（ブラウン運動）。
  • 当初は「生命を持つから」と考えられましたが、無生物（ガラス粉など）でも同様の動きが見られるため否定されました。
• 科学者の洞察
  • アインシュタイン (1905): 花粉粒子は液体中の目に見えない分子による**衝突 (bombardment)**を受け続けていると仮定しました。
  • スモロフスキィ (1906): 独立して同一の理論を発表。
  • ペラン (1909): 実験的にモデルを検証し、アインシュタインの予測が正しいことを確認しました。
• 数学的な定義
  • ノルベルト・ウィーナーが形式的に体系化（Wiener, 1923）。
  • 特に数学者の間では、ウィーナー過程と呼ばれることが多いです。

この現象を理解する鍵は、**「実際に起きたこと」と「他の起こりうる結果（反事実）」**を分離することにあります。花粉がたどるかもしれないすべての可能なパスの分布を理解することで、世界について推論できるようになります。

ランダムウォークモデル

離散時間のモデルから始めて、ブラウン運動へと至ります。

単一ステップのコイン投げ

時計の針が刻む（tick）一つの間、花粉粒子は以下の行動をとります：

• 単純化の仮定: 不偏なコイン（$p=1/2$）を投げるモデルを考えます（上または下）。
• 物理的意味: コイン投げは、水分子からのランダムな衝突をモデル化します。
• 変数の定義:
  • $S_0$: 初期位置（$0$ と仮定）。
  • $u$: 移動の大きさ（上昇なら $+u$, 下降なら $-u$）。
  • $Z_i$: コイン投げの結果（${-1, 1}$ に属する確率変数）。

時刻 1 後の位置は $S_1 = u Z_1$ です。

n ステップ後の位置 ($S_n$)

各ステップで独立にコインを投げた場合、時刻 $n$ 後の位置は以下の総和となります：

$$S_n = u Z_1 + u Z_2 + \dots + u Z_n \quad \tag{1}$$

• 二項木 (Binomial Tree)
  • 全ての可能なパスを可視化したグラフです。
  • 根ノード（$n=0$）からリーフノード（時刻 $n$）に至る各パスは、独立した結果を表します。
  • ノード $(n, k)$ は、「時間 $n$ で表が出た回数が $k$」を意味します。

確率分布の導出

特定の位置への到達確率は、そのノードに至るパスの数によって決定されます。

1. 特定のノードへの到達確率

   • $n$ 回のコイン投げで表が $k$ 回出る場合： $$ \mathbb{P}(K_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} $$ （これは二項分布に従います）

2. 花粉粒子位置の確率質量関数 (PMF)

   • 位置 $S_n$ と表の回数 $K_n$ は関係しており、以下の式で結ばれます： $$ S_n = u(2 K_n - n) \quad \tag{11} $$
   • したがって、時刻 $n$ の位置分布も同様に確率で記述されます。

平均と分散

位置 $S_n$ の統計的性質（$p=1/2$ の場合）：

• 期待値: $$ \mathbb{E}[S_n] = 0 $$
• 分散: $$ \mathbb{V}[S_n] = n u^2 $$

重要: $S_n$ は離散的な位置を指すため、確率的には二項分布そのものではありません（非負整数のサポートを持つ二項分布とは異なる）。しかし、平均がゼロでシフトされた二項分布の本質を持ちます。

リスケール化と正規分布への収束

時間ステップを無限に細かくし、物理的な時間 $t$ で考えることで連続時間を定義します。ここが中心極限定理 (CLT) の応用ポイントです。

リスケール化の重要性

単にステップ数を増やしても、分散は爆発的に大きくなります。以下の調整が必要です：

• ステップ数 ($n$) が増加: 衝突（bombardment）の回数が多くなる。
• ステップサイズ ($u$) を縮小: 各衝突での移動距離を小さくする。

これを形式的に定義すると： $$ u := \frac{1}{\sqrt{n}} $$ 時刻 $t$ での位置は以下のようになります： $$ B_t^{(n)} = \sum_{i=1}^{\lfloor tn \rfloor} u Z_i $$

デ・モアブル＝ラプラス定理の適用

適切に標準化された二項確率変数は、$n \rightarrow \infty$ で正規分布へ収束します。

$$ \frac{K_n - \mathbb{E}[K_n]}{\sqrt{\mathbb{V}[K_n]}} \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(0, 1) $$

これをリスケールされたランダムウォークに適用すると： $$ B_t^{(n)} \stackrel{d}{\rightarrow} \sqrt{t} ; \mathcal{N}(0, 1) = \mathcal{N}(0, t) \quad \tag{21} $$

結論: 時間 $t$ 後の花粉粒子の位置分布は、正規分布 $\mathcal{N}(0, t)$ に収束します。

ドリフトとボラティリティの追加

より一般的なケース（平均がゼロでない場合）を考慮します：

1. ボラティリティパラメータ ($\sigma$) の導入: $$ u = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
2. ドリフトパラメータ ($\mu$) の追加: コインの偏り $p$ を直接使うと境界が現れるため、以下の定義で正規化します： $$ p_n = \frac{1}{2} + \frac{\mu}{2 \sigma \sqrt{n}} \quad \tag{26} $$

これらを組み合わせた結果、一般的な非標準ブラウン運動の極限分布は：

$$ X_t^{(n)} \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(\mu t, \sigma^2 t) \quad \tag{29} $$

• 平均: $\mu t$ （ドリフト）
• 分散: $\sigma^2 t$ （ボラティリティの二乗）

結論と直観

• 正規分布の普遍性: 独立同分布確率変数の和は、適切にリスケールすれば常に正規分布に収束します。
• ブラウン運動の本質:
  • マルティンゲール性: 期待値は現在位置と一致する（無ドリフトの場合）。
  • 定常ガウス増分: 任意の時間区間の増分は正規分布に従い、相関がない。
• 数学的厳密化への架橋: ここでの直観的な導出は、より高度な確率論（スルツキーの定理、ドンスキールの定理など）による厳密な定義への理解を深める土台となります。

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アペンドックス

A1. 二項定理

任意の非負整数 $n$ に対して以下の恒等式が成立します：

$$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \quad \tag{A1.1} $$

これは帰納法によって証明可能です。二項係数 $\binom{n}{k}$ は、$n$ 個の中から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数であり、「$n$ 選び $k$（$n$ choose $k$）」と発音します。 $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \tag{7} $$

A2. 収束の導出（ドリフト付き）

$\sigma$ スケーリングと平均中心化を組み合わせた厳密な導出です。

1. パラメータの定義

   • 偏りパラメータ：$ p_n = \frac{1}{2} + \frac{\mu}{2 \sigma \sqrt{n}} $
   • 期待値：$ \mathbb{E}[K] = n p_n $
   • 分散：$ \mathbb{V}[K] = n p_n (1-p_n) $

2. 位置変数 $X_t^{(n)}$ の整理 $$ X_t^{(n)} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} [2 K_{\lfloor tn \rfloor} - \lfloor tn \rfloor] $$ 期待値と分散の補正項を加味して書き換えると： $$ X_t^{(n)} = \text{スケーリング係数} \times \left[ \frac{K - \mathbb{E}[K]}{\sqrt{\mathbb{V}[K]}} \right] + \mu t $$

3. 極限結果

   • スケーリング係数は $ n \to \infty $ で $ \sigma\sqrt{t} $ に収束。
   • 標準化された二項確率変数は $ \mathcal{N}(0,1) $ に収束。

   よって、スルツキーの定理より： $$ X_t^{(n)} \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(\mu t, \sigma^2 t) \quad \tag{A3.8} $$