Japanese Translation:

テキストは、三角形の面から成る剛性で、それらの面の变形せずに形状を変え得る画期的な可動構造であるスティフェンの多面体について記述している。これに対し、同様の条件下では曲げることのできない凸多面体と対比される。歴史的に重要であり、1977年のロバート・コネリーの発見を改善し、頂点数を削減している；9個の頂点が長らく最小であるとされていたが、ガレットら（2024）は8頂点の解を見つけ、エルヴァル・アトラーソンもまた8頂点の例を構築した。構造は、底面の四角形の対辺が等しい（AB=CD=12, BC=AD=10）ピラミッドのような形状に4つの三角形を組み立てることで始まる。ADおよびCDに沿って2つの追加の三角形を取り付けると、点Eの位置が決定され（DE=5, AE=12, CE=10）、底面が曲げられても三角形の合同性によりBEは常に11として保たれる。ECおよびCBの辺に沿って2つのこのような6三角形の図形を結合すると、自由度2を持つ12三角形の組立体が作成される。面A1B1A2およびA2B2A1を追加し、辺A1A2を正確に17単位に固定することで、システムは自由度1に減少し、滑らかな可動運動が可能となる。この記事には、破線が谷を、不連続な線が山を、片色の色は折り上げ時の外部の穴を示すネットが含まれている。著者はグレイ・エーガン（2015年8月23日作成；2026年9月23日改訂）であり、この著作は離散的幾何学およびトポロジーを進展させ、従来のヒンジを用いない複雑な機械的リンク機構および展開可能な構造の設計においてエンジニアに新たな洞察を提供している。

ステフェンの多面体：構造と可変性について

著者: グレッグ・エーガン

はじめに

ステフェンの多面体とは、すべての面の形状を保ちながら形を変化させ得る可変性多面体です。
- 現在のところ、凸多面体が可変性を持つことは証明されていません。
歴史的な発見:
- 自己交差しない球型位相を持つ最初の可変性多面体は、1977 年にロバート・コネリーによって発見されました。
- クラウス・ステフェンの設計では面の数が少なく、単に14 つの三角形で構成されています。
頂点数の研究動向:
- かつては 9 つの頂点が理論上的最小値であると信じられていました。
- 2024 年: ガレットらによって、8 つの頂点だけの可変性多面体が発見されました。
- この最新動向について情報提供されたエヴァル・アトラスン氏が、詳細な解析と別の 8 頂点解の構築を発表しています。

ステフェンの多面体の構造は、比較的容易に理解できる幾何学的構成からなります。

構成手順

1. 基本ピラミッドの作成

まず、四つの適切な三角形を組み合わせることで可変性形状を作成します。

構成要素: 非平面四角形（底面）と 4 つの三角形（側面）。
設定された長さ (AB=CD=12, BC=AD=10 など):
- 特定の数字には特別な意味はありませんが、対辺同士が等しい長さであることが重要です。
- 例：
```
AP=10
```
  ,
```
BP=5
```
  ,
```
CP=12
```
  ,
```
DP=11
```
  など。
自由度: この形状は一つの自由度を持ちます（ピラミッドの底面を形成する四角形の対角線の長さを変形可能）。

2. 三角形の追加と固定化

基本ピラミッドに三角形を 2 つ追加し、頂点 E を定義します。

追加設定:
```
DE=5
```
,
```
AE=12
```
,
```
CE=10
```
- これらの三角形は共通の辺
```
DE
```
  を共有します。
自由度の変化:
- 新たな自由度は導入されません。
- 理由：点
```
E
```
  の位置は辺
```
AD
```
  と
```
CD
```
  によって決まっているため（平面 ACD への配置を除く）。
重要な幾何学的性質:
- 四角形 ABCD が変形しても、距離
```
BE
```
  は不変に 11 を維持します。
- その結果、角度
```
ECB
```
  も変化しません。
- 合同関係:
  - 三角形
```
ADE
```
    ≅ 三角形
```
CBP
```
  - 三角形
```
CDE
```
    ≅ 三角形
```
ABP
```
  - したがって、点 E は第一のピラミッドと合同な第二のピラミッドの頂点となり、三角形
```
BCE
```
    ≅ 三角形
```
DAP
```
    が成立します。

3. 組立体（12 面）の形成

上記の六面図形を 2 つ用意し、接合して多面体の骨格を作ります。

接合方法:
- 最初の図形の辺
```
E1C1
```
  ↔ 第二の図形の辺
```
B2C2
```
- 最初の図形の辺
```
B1C1
```
  ↔ 第二の図形の辺
```
E2C2
```
可変性の保証:
- 四角形底面の形状がどのようなものであっても、角度
```
ECB
```
  が形状に依存しないため接合が可能です。
自由度の現状:
- この 12 面からなる組立体には二つの自由度を持ちます。

4. 最終的な多面体の完成

残りの三角形面を追加し、完全な多面体として固定します。

追加操作:
- 三角形面
```
A1B1A2
```
  と
```
A2B2A1
```
  を追加します。
- 辺
```
A1A2
```
  の長さを固定値 17 に制約します（一つ目の自由度を消費）。
最終的な状態:
- まだ一つの自由度が残っており、多面体は自由に可変性を示します。
注意点 (辺 B1B2 について):
- 四角形底面の形状に関わらず、
```
B1B2
```
  は固定値 11 です。
- ただし、
```
B1B2
```
  を用いて四角形を分割しようとすると、他の面と交差してしまいます（有効な構成法ではない）。

ネット図

ステフェンの多面体の平面展開図です。以下の条件で折り曲げることで立体化可能です。

印刷・切り出し: 面の配置は上記の構造に従います。
折り目指示:
- ```
点線
```
  : 谷折り
- ```
実線
```
  : 山折り
彩色について:
- ネット図上の色はイメージ用です。
- 片面印刷の紙で外側を彩色する場合、二つのピラミッド部分（彩色面から見た場合）は坑（クレーター）のように見える構成になります。

[ステフェンの多面体のネット図]
(画像または展開図のパターン)

参考文献・フッター

カテゴリ: サイエンスノート / ステフェンの多面体
作成日: 2015 年 8 月 23 日（日）
改訂日: 2026 年 9 月 4 日（金）

シュテフェンの正多面体