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応用圏理論コース(2018)
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要約▶
Japanese Translation:
「Applied Category Theory」コースは、John Baez と Simon Burton が 2018 年の書籍 Seven Sketches in Compositionality(著者:Fong および Spivak)を基に開発したものであり、製造業、価格設定、化学反応など現実世界の課題に対して高度な数学的概念を応用する方法を包括的に解説します。本シリーズは77 回の講義から構成され、四つの主要な章に分けられています:順序集合(Ordered Sets)、資源理論(Resource Theories)、データベース、そして協働設計(Collaborative Design)。学習者はガロア接続(Galois Connections)——異なる種類のデータを結びつけるために使用される数学的構造——といった基礎トピックから始め、化学やスケジューリングへの資源理論の応用、データベース向けの圏とカン伸張(Kan Extensions)、協働設計向けの先進的なツールとしてのモノイダル圏およびストリングダイアグラム(String Diagrams)など、各章の内容を順を追って学びます。カリキュラムはこれらの概念を統合する「グランド・シンセシス(Grand Synthesis)」で締めくくることであり、専門的な数学的枠組みを利用することで、本コースは抽象的な数学と実用的な工学課題の間を結ぶ重要な架け橋となっており、体系的な展開を通じて厳密な理論的概念が多様な産業および計算問題の解決にどのように寄与するかを系統的に探求することを可能にします。
本文
応用圏論講義|ジョン・ベイーズ
本書は、フォンとスピバックの著作『合成性の七つの素描:応用圏論への招待』を基盤としています。ジョン・ベイーズが講師を務め、サイモン・バートンによって魅力的なウェブページへと形作られた講義です。詳細については、第 1 講をご覧いただくことをお勧めします。
第 1 章:順序集合
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序論(第 1 講)
- 応用圏論の基礎への招待
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応用圏論とは何か(第 2 講)
- 理論の概要と目的
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順序関係(プリオーダー)(第 3 講)
- プリ秩序構造の定義と性質
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ガロア接続(第 4・5 講)
- ガロア接続の概念とその導入
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余極限の計算(第 6 講)
- 具体的な計算手法
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論理(第 7 講)
- 圏論における論理的構造
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部分集合の論理(第 8 講)
- 部分集合を扱う論理体系
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余極限と部分集合の論理(第 9 講)
- 両者の結合による論理拡張
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分割の論理(第 10 講)
- 分割概念に基づく論理
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分割の順序集合(第 11 講)
- 分割を秩序集合として捉える
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創成効果(第 12 講)
- 新しい構造を生み出すメカニズム
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分割の後退写像(第 13 講)
- 分割に関する逆方向の写像
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余極限、結合・交差(第 14 章)
- 多様な構造の相互作用
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結合・交差を保存する写像(第 15 章)
- 構造保持写像の議論
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順序集合上の余極限函手の定理(第 16 章)
- 一般化された存在定理
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総括と統合(第 17 章)
- 第 1 章のまとめと体系的な統合
第 2 章:リソース理論
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リソース理論(第 18 講)
- リソースとしての数学的モデル化
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化学反応とスケジューリング(第 19 講)
- 応用例としての化学と時間配分
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製造プロセス(第 20 講)
- 産業工学への応用
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モノイダルプリオーダー(第 21 講)
- リソースの束ねる構造
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対称モノイダルプリオーダー(第 22 講)
- 交換性を持つリソースモデル
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可換モノイダル順序集合(第 23 章)
- 完全な可換性を持つ秩序集合
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リソースの価格設定(第 24 講)
- リソースへのコスト割り当て
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反応ネットワーク(第 25 講)
- 複雑な相互作用の網羅
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モノイダル単調写像(第 26 講)
- リソース変換の規則性
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モノイダル単調写像の余極限(第 27 講)
- 変換系の安定化
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外部性の無視(第 28 講)
- 局所最適とグローバル視点
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リッチ化された圏(エナリーCHED カテゴリ)(第 29 章)
- 情報理論的拡張の圏論的枠組み
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プリオーダーをエナリー CHEd な圏として解釈する(第 30 章)
- 基礎構造と拡張構造の対応付け
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ローワルベ距離空間(第 31 講)
- メトリック空間との接点
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エナリー CHED 函手(第 32 講)
- 圏間写像における情報保存
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残る糸口をつなぎ合わせる(第 33 章)
- 理論全体の統合への準備
第 3 章:データベース
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圏(第 34 章)
- データ構造としての圏
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圏とプリオーダーの違い(第 35 講)
- 同型写像の重要性と違い
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グラフから圏を構成する(第 36 講)
- グラフ理論からの構築法
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圏の提示(第 37 講)
- 普遍性に基づく定義
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函手(第 38 章)
- データベース間の関与
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データベース(第 39 章)
- 具体例としてのデータベース操作
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関係(第 40 講)
- 行と列の数学的記述
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函手の合成(第 41 講)
- クエリの結合処理
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データベースの変換(第 42 章)
- スキーマ変更などの変形
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自然変換(第 43 章)
- データベース変換の整合性
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圏、函手、自然変換(第 44 章)
- 三者関係の再確認
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自然変換の合成(第 45 章)
- 複数変換の連鎖処理
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同型写像(イソモーフィズム)(第 46 講)
- データベースの同等性判定
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余極限函手(第 47・48 講)
- データ整合性の保保証
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カノ拡張(第 49 章)
- 関数の安全な拡張手法
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左側のカノ拡張(第 50 章)
- 部分関数としての拡張
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右側のカノ拡張(第 51 章)
- データ付与としての拡張
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ホム関手(第 52 章)
- オブジェクト間の距離測定
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自由・忘却関手(第 53 章)
- 構造の加減操作
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残る糸口をつなぎ合わせる(第 54 章)
- データベース論理の統合
第 4 章:協働的デザイン
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リッチ化されたプロファンクターと協働的デザイン(第 55 講)
- プロフェッショナルな協調モデルの拡張
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実現可能性の関係(フィーザビリティ・relations)(第 56・57 講)
- 「できるか」を測る関係性の定義
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実現可能性関係の合成(第 58 講)
- 連鎖的実現可能性的判定
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コストでリッチ化されたプロファンクター(第 59 章)
- コスト制約下の拡張モデル
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閉じたモノイダルプリオーダー(第 60・61 章)
- 内部完結な構造
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リッチ化されたプロファンクター(第 62 章)
- 拡張概念の詳細解説
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リッチ化されたプロファンクターの合成(第 63 講)
- 複雑な相互作用的合成
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リッチ化されたプロファンクターの圏(第 64 章)
- この構造全体の圏論的定義
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協働的デザイン(第 65・66 章)
- システム全体としての設計思想
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協働的デザインにおけるフィードバック(第 67・68・69 章)
- ループ構造による自己調整
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リッチ化されたプロファンクターのテンソル積(第 70 章)
- 多重結合の扱い
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リッチ化されたプロファンクターにおけるキャップとカップ(第 71 章)
- 上限・下限の操作
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モノイダル圏(第 72 章)
- 束ねる構造を持つ圏
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ストリングダイアグラムと厳密化(ストリクティフィケーション)(第 73 章)
- 視覚的表記から厳密な定義へ
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コンパクト閉じた圏(第 74 章)
- ループ構造を持つ高度な圏
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総括と統合(第 75・76 章)
- 全講義の再確認と結び付け
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終わりか?いいえ、始まりだ!(第 77 講)
- 新しい探究への招待
© 2018 ジョン・ベイーズ