無限を失うことにより、我々が得られるものは何か。

無限を否定する超有限主義という哲学は、長年「数学的な異端」として蔑視されてきました。しかし、それは同時に数学の先にある新たな知見を生み出しつつあります。ドルン・サイレンberger は、「すべてのことは終焉を迎える」と信じる数学者です。我々が生来の限界に縛られた存在である以上、自然にもそして数字にも境界線が存在するという考えを持つのです。窓の外を見てください。他者にとっては現実が連続して広がり、刻一刻と不変の前進を見せているように見えるところを、サイレンberger が見るのは「тикする（打鐘する）」宇宙です。それは離散的な機械です。周囲の世界の滑らかな動きの中に、彼はフラップブックのような微かなブレを捉えています。

サイレンberger にとって、無限を信じることは神を信じることに似ています。これは我々の直観に甘えさせ、多様な現象を理解する助けになる魅力的なアイデアですが、問題は私たちは真に無限を観察できず、したがってそれを本当に定義することもできないという点にあります。式はチョーク板を飛び去る線を描きますが、それはどこへ向かうのでしょうか？証明には暗示的な省略符号で溢れています。サイレンberger（ルーズベルト大学の元教授であり、組合せ論の著名な人物）によれば、これらの式と証明はどちらも「非常に醜く」、かつ偽であると指摘します。「完全に無意味だ」と彼は、議論を展開し疲れ果てたような低い声で発音するごとに言います。

実用的な観点から、彼は無限を除去できると主張します。「それを実際には必要としません」。例えば、数学家たちは微積分の一種を構成することができ、無限小の極限を取り除くなどして無限を完全に排除できます。曲線は滑らかに見えても、実は細かい粒度の粗さを隠しています。コンピュータは有限の桁数を割り当てるだけで数学処理に問題はありません。（サイレンberger は自身のコンピュータ「Shalosh B. Ekhad」を自らの論文の共同研究者として挙げています）無限を排除すれば、失われるのはそもそも「やる価値のない数学だけ」だと彼は言います。

しかし、多くの数学家は正反対のことを言うでしょう。彼こそが完全な無意味さを語っているというのです。それは単に無限が我々の宇宙記述にとって有用で自然であるだけでなく、数の集合（例えば整数）を実在する無限の客体として扱うことが数学の核心に位置し、最も基本的な規則と仮定に埋め込まれているからです。

少なくとも、数学家たちが無限を実在する實體として考えることを望まない場合でも、彼らは数列、形状、その他の数学的対象が無限に成長する可能性を認めています。理論上、2 つの平行線は永遠に続くことができ、数の線上の末尾に新しい数を追加することもできます。サイレンberger はこれらに反対します。彼の目には、あることが原理的に可能であるかどうかではなく、実際に実行可能かどうかが決定的なのです。実際的な意味においてこれは、無限が疑わしいだけでなく、極めて大きな数も同様に疑わしいことを意味します。「スキュースの数」$e^{e^{e^{79}}}$ を考えてください。これは異常に大きな数であり、誰も小数形式で書き出すことができませんでした。我々はこれについて本当に何を言えるのでしょうか？これは整数ですか？素数ですか？自然界のどこかでこのような数を見つけることができますか？それをいつまでたっても書き下せるでしょうか？すると、おそらくそれは単なる「数」ではないのかもしれません。

これは当然のことながら問いを提起します。端的に言えば、我々が終点をいつ見出すのかというものです。サイレンberger は答えられません。誰も答えることはできません。それが多くの人がその哲学（超有限主義）を軽視する最初の理由です。「超有限主義のアイデアを初めて誰かに提案すると、それはインチキに聞こえます――『最大の数がある』といった類いのことだ」と、コロンビア大学の哲学者であるジャスティン・クラーク＝ドーンは言います。

「多くの数学家にとって、その全体のプロポーズはおぞましく思えるだけです」と、ノートルダム大学の集合論学者ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスは言います。超有限主義は数学学会の夕食会での礼儀正しい話ではありません（我々はそれを「超有限な数だけいる」とさえ言えるでしょう）。取り組む人はほとんどいません（一人もいるかどうか疑わしい）、さらに言えば、サイレンberger のような自分の考えを空に向けて叫ぶことを厭わない会員になる人もほとんどいません。それは単に超有限主義が逆説的な立場であるからではなく、より根本的に小さい数学を提唱し、重要な問いすら不能再問することを可能にするからです。

しかしながら、ハムキンスや他の人々にとって考える価値のあるものは確かにあります。一方で、超有限主義はより現実的な数学として見なすことができます。それは人々が創造・検証できる限界をよりよく反映する数学であり、物理宇宙そのものをよりよく反映するかもしれません。私たちが空間と時間を永遠に拡大し分割可能なものと考える傾向がある一方で、超有限主義者はこれらが科学がますます疑問視している仮定であると主張します。サイレンberger が言うのであれば、科学が神の門戸で疑念をもたらしたようなものです。

「我々が描写する世界は内外すべてで誠実である必要があります」と、2025 年 4 月に超有限主義的アイデアを探究するため、稀な専門家の集まりを開催したクラーク＝ドーン氏は言います。「もしも事物が有限のしか存在しない可能性があれば、初めから無限が存在すると仮定する数学を使うのではなく、そのような数学を使用するべきでしょう」。彼にとって、「それは間違いなく数学哲学の一部となるべきです」と。

しかし、数学家たちがこれらを本気に受け止めるには、まず超有限主義者側同士が何を話しているのか合意する必要があります（ハムキンスの言うような「大げさ」に見えさせる論争を正式な理論に変えることです）。数学は形式系と共通の枠組みに深く浸透しています。一方、超有限主義にはそのような構造がありません。

問題を断片的に解決することは一つのことであり、数学そのものの論理的基礎を書き換えることは全く別のものです。「超有限主義が軽視されている理由は、反対する健全な議論があるからではないと思います」とクラーク＝ドーン氏は言います。「むしろ、『どうせ無駄だ』という感覚でしょう」。

それはまだ一部の超有限主義者が取り組もうとしている問題です。一方のサイレンberger は、数学的な理想を捨てて、世界自体のように本質的に混乱した数学を好む用意があります。彼は基礎理論の人間というよりは、意見の人であり、自らのウェブサイトに 195 もリストアップしています。「この狂人的なことをやらない限り、定員教授にはなれません」と言います。しかしある日、彼は追加して、「数学家たちが振り返って見ると、この狂人はかつて神や迷信を疑問視した人々と同じように正しかったと認められるでしょう」と付け加えます。「幸いなことに、異端者はもはや火刑柱で燃やすことはありません」。

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離散数学の再評価（原題：Dissident Mathematics の意）

アリストテレスは、無限は到達できる方向にあるが決して到達しないものだと見ていました。「分割のプロセスが終わりないという事実は、この活動が潜在的に存在することを保証している」と彼は書き残しました。「しかし、無限が独立して存在するというわけではありません」。千年もの間、この「潜在的」な無限のバージョンが最高潮を極めていました。

しかし 19 世紀末、ゲオルグ・カンターとその他の数学家たちは、無限は確かに実在するのを示しました。カンターの手法とは、整数のような数の系列を完全な無限集合として扱うことです。これは今日も使用されている数学の基礎理論であるゼルメロ＝フレネケル集合論の構築において不可欠なものとなりました。彼は無限を実際の客体であることを示しました。さらに、それは多様な大きさを持っています；これらの異なる無限を操作・比較することで、表面上では無限と全く関係ないように見える驚くべき真理を証明できます。多くの数学家が高位の無限の領域に時間を費やすわけではありませんが、「今では、ほぼすべての数学家は実在論者です」とハムキンスは言います。無限はデフォルトとして仮定されています。

しかしこの近代数学の基礎は、提案されて以来激しい議論を呼んできました。その理由の一つは、無限に関する核心的な仮説を受け入れることで奇妙なパラドックスを構築できるといったことです。例えば、ボールを 5 つの部分に切り分け、それらを使って元のボールと同じ体積を持つ新しい 5 つのボールを作成することが可能になります。

もう一つの反駁はより哲学的です。カンターの開示後のある期間、一部の数学家は、数学的構造の存在を単に主張することはできず、精神的な構築プロセスを通じてその存在を証明すべきであると論じました。「直観主義」というこの哲学において、例えばピイは無循環する無限小数の展開を持つ数よりも、数字生成アルゴリズムを記号化するプロセスとみなされます。

しかし直観主義は与えられた精神的構築が可能であるかという点のみを要求し、実在の無限を禁じつつも潜在的無限を許容します。一部の数学家はまだ満足できず、スキュースの数や書き下せるはずのない極めて大きな値に悩み続けました。それゆえ、彼らは直観主義のアイデアを極限まで追求することを求めました。

「あなたが考えているのであれば、この視図で存在する数とは何かだが、それは理論的にではなく実際に構築できる数であるはずだ」と、オックスフォード大学の哲学者オファラ・マジドルは言います。

実用的な制約を心に留めた新しい直観主義のバージョンは、アレクサンダー・エセンイン＝ヴォルピンというソビエトの数学家兼詩人の業績で 1960 年代と 70 年代に結晶化しました。

エセンイン＝ヴォルピンは主に政治的な非順応者として知られていました。反ソビエトのレトリックと詩を広めるために抗議活動を行っていた彼は、精神病院に入れられました。「彼は『私は人間だ。基本的な権利を持っている』と言った」と、1970 年代にソビエトから追放された後、彼の自宅を接待したニューヨーク市立大学の論理学者ロヒット・パリクは言います。エセンイン＝ヴォルピンは奇妙な来客であり、パリクの屋根裏部屋で終夜歩き回り、妻が愛用していた陶器の置物を灰皿代わりに使いながら、潜在的無限だけでなく極めて大きな数さえ拒否する奇妙な理論に取り組んでいました。

アレクサンダー・エセンイン＝ヴォルピンは人権活動主義のために数回服役したソビエトの非順応者、数学家、詩人でした。 アイリーン・チェーザ

論理学者ハルヴィー・フリードマンはかつて、Esenin-Volpin に「数字が大きくなりすぎるときの境目を特定して」と頼みました。$2^n$ のような式の場合、n がどの値で数が止まりますか？20 は実際に数でしょうか？21、22、そして $2^{100}$ までどうですか？Esenin-Volpin は各数字に応答しました。$2^1$ はいました。$2^2$ も同様です。しかし、每次都応答する時間が長くなりました。対話はすぐに終わりなしに成長しました。

Esenin-Volpin は自分の主張を果たしました。パリクや他の人々が後に言ったように、数の限界はそれらの存在を実証するために必要なリソースの限界（例えば時間、利用可能なコンピュータメモリ、証明の物理的な長さ）に根ざしていました。「多くの超有限主義者は、有限と無限の違いは本質的に曖昧であると見ています」とクラーク＝ドーン氏は言います。

Esenin-Volpin にとって、ある条件は n で真であり、n+1 でも真である——それが真ではなくなるまで。子供は成長し続けるが、ある日にはもう子供ではなくなります。特定の終点を指定する必要はありません。重要なのは終点がどこかそこに潜んでいるという事実です。

Esenin-Volpin の仕事は、ある意味で曖昧さを許容できる新しい数学への呼びかけでした。その後は超有限主義者たちが彼が残した場を継ぎ、彼の曖昧で境界線のない無意味な数学を確固たるものにすることを探求しました。

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危機管理（原題：Crisis Control）

1976 ある朝、プリンストンの数学家エドワード・ネルソンが目を覚まし、信仰の危機に直面しました。「無限の数の世界の実在性を信じることで傲慢を非難された一者の圧倒的な存在感を一時的に感じた」と彼は数十年後に振り返り、「ベビーカートの中で指折り数えるように弱々しくなった」と語っています。

数学には基本的な規則、すなわち公理があります。ネルソンは、単純な算術を行うことを可能にする最も簡素な公理であっても無限に関する仮定を含むことを知っていました（例えば、常に 1 を加えて新しい数を生成できるというように）。彼はやり直しを行い、無限を完全に禁止する新たなルールセットを構築することにしたいと考えていました。これらの新しい公理だけで組み立てられる数学はどう見えるのでしょうか？

驚くほど弱かった結果になりました。ネルソンは無限を追放するさまざまな公理集合を研究しましたが、それらを使用しても基礎的な算術（例えば「a + b は常に b + a に等しい」という文のように単純な命題）を証明できないことを発見しました。べき乗といった elementary 演算も必ずしも可能とはなりません：100 や 1,000 の数は構築できるかもしれませんが、1,001,000 はできません。数学者のツールキットで最も強力な技術の一つである帰納法（ある命題が一つの数について真であることを証明できれば、すべてについて真であるという原理）は完全に失われました。

ネルソンにとって、この弱さは真理の閃光でした。彼は、数学家たちが当然として受け入れているより強力な算術公理（無限を許容する「ペアノ公理」）が根本的に欠陥ありだと示し、矛盾につながる可能性があると希望しました。「私達は数学において確立されていることの多くが転覆されるでしょう」と彼はかつて言いました。

しかしネルソンはそれらを転覆することはできませんでした。2003 年、彼は弱い公理を使用してペアノ公理の不一致を発見したと発表しましたが、派手な結果はすぐに debunked されました。

ネルソンの限られた算術、そしてパリクや他の人々によって発展させた関連する非標準算術は、コンピュータ領域で実用性を示しました。研究者たちはどのようなアルゴリズムが効率的に証明できるかを理解したい場合です。これらの超有限主義的数学アプローチは計算効率の言語へと翻訳され、アルゴリズム能力の限界を探るために使用されました。

ネルソンにとって、数学とは「あなたが選択して信じる真実」———that is, あなた自身が正しいと決断する公理——のことです。デフォルト公理を選択しても、その点は依然として真です。もちろん、基礎を持たない異端者の超有限主義者は、証明すべきことがたくさんあります。

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忍耐の練習（原題：Exercises in Patience）

2025 年 4 月、多様な背景を持つ人々が無限を廃止するための会議のためにニューヨークのコロンビア大学に集まりました。そこには物理学者、哲学者、論理学者、数学家が含まれていました。サイレンberger や他のカードキャリアの超有限主義者から、あらゆる種類の無限を信じる集合論者、そして単に興味を持っている者までが混在していました。その結果、会議の主催者であったクラーク＝ドーン氏は「これは全員にとって忍耐の練習でした」と回想しています。哲学者は一般的に教室で激しく議論し、その後ビールを飲みながら集まることに慣れています。数学家たちではありません。通常、彼らが不一致を示す場合、それは誰かが重大なミスをしたことを意味します。

明確なのは、普遍的な超有限主義理論への進歩が留まっている部分には、この運動のための明確な動機がないこと、あるいはその背後にある論理の姿を決定するための単一的アプローチがないことです。おそらく、ネルソンが行ったような基礎規則に固執するのは正しいアプローチではありません。「無駄だと思います」とパリクは言いました。「形式主義を双眼鏡として使用し、あなたが何を見ているかにもっと注意を払う必要があります。双眼鏡自体の研究を開始すると、ゲームを失うことになります」。

サイレンberger は、無限が非常に生々しく存在する世界であっても、（おそらく歪んだ）望遠鏡を通して物を見ることに満足しています。彼はゼロから無限のない数学を再構築することを望んでいません。むしろトップダウンで働くことができます。例えば実解析は実数と関数の振る舞いを扱いますが、サイレンberger はこれを離散解析の「変質形」と呼びます（連続的なものではなく個別の客体の振る舞いを探求する分野）。彼は実数の連続的な景観を、値に極めて微小だが無限小ではない差によって隔てられた「離散的ネックレス」で置き換えることができると言います。これを使用して、微積分と微分方程式（現在は「差分方程式」と呼ばれる）のルールを書き直し、そこから微妙な無限の使用さえ排除できます。彼らは困難であると認めますが、特にコンピュータの助けがあれば可能であるでしょう。結果は古典的数学ほど優雅に見えないかもしれませんが、物理現実を彼の信念通りに反映しているため、より美しいと言います。

ブリュッセル自由大学の数学哲学者ジャン＝ポール・バンデゲムにとって、超有限主義への旅は数ではなく小学校の幾何学から始まりました。彼は自分の数学教師が黒板に無限に伸びるとされる線を引きながら見たことがあります。「どこまで？」と彼は思い出して尋ねました。右側が一つの方向へ無限遠に、左側が別の方向へ無限遠になったら、同じ場所に行きつくのでしょうか？それとも異なる無限が黑板の端から潜んでいるでしょうか？彼の教師は彼に質問をすることをやめると言いました。

バンデゲムは後に、線や曲げに幅があり、かつ有限で有限に分割可能な幾何学を考えることでこれらの懸念に対処しました。これらは信じられないほど小さくは無限ではありすぎない点の配列に分けられます。その点、線、曲線で作る構造化もすべて有限であり、古典幾何学の離散対応となります。これらのツールには限界がありますが、過去数十年にわたって深く探索されてきました——超有限主義のためだけでなく、有限物理学を構築するためにも物事の形状を見極めることが重要です。

我々がしばしば物理宇宙を無限に広大で無限に分割可能なものとして想像する一方で、物理学者自身もこの仮説に疑問を抱いています。プランクスケール（ある意味で宇宙のピクセルサイズ）のような根本的な限界を超えると、距離という概念自体が意味を失います。そして無限が物理学者の方程式に現れる場合、それは問題となり、避けることを望みます。「無限に成長し繰り返される宇宙についての予測をするのは本当に本当に困難であることがわかった」と、ジョンズ・ホプキンス大学の物理学者セアノ＝キャロルは言います（彼は量子力学の有限モデルを実験しました）。「多くの宇宙論者がその問題を扱う方法とは、それが存在しないことに仮定的に振る舞うことです」。

ドイツブレーメンのコンストラクター大学とジュネーブ大学の量子物理学者ニコラ・ジーシンにとって、直観主義数学は物理学の核心の謎の一つを考えるための手段を提供します：大きなスケールでは物理系の行動は決定論的で予測可能ですが、量子領域では無秩序が支配しています；粒子は複数の量子状態を持ち、不規則な方法で単一の状態に収束します。物理学者たちはこの不整合の源泉を理解しようと百年間にわたって取り組んできました。

ジーシンは、物理学における最大の謎の一つが無限に関する誤った仮定によるものだと提案しました。 カローレ・パリ

ジーシンは、研究者たちが暗示的に信じていると指摘し、宇宙の始まりから粒子の量子状態を無限の桁を持つ実数によって無限に高い精度で定義できると言います。しかしジーシンのところでは、実数を使用することは間違いです。代わりに直観主義数学を使用すれば、決定論は現実的ではない完璧な情報を持っていることに由来する人工物であることが明らかになります。物理系の大きなスケールの決定論的な行動は自然に不正確で予測不可能になり、古典と量子領域の間に存在する境界が溶けます。ジーシンの理論は他の物理学者にとって魅力的であり、ビッグバンのような現象に関するパラドックスを解決するのに役立つ可能性があるためです。

しかし重要なことに、彼の仕事がアリストテレス的意味での到達可能な潜在的無限を廃止しないことに注意する必要があります。直観主義の数学家によるより大きくまたはより正確な数字の計算で時間と努力を使うという伝統の中で、ジーシンはより多くの情報を作り出すことを許容しています。ある日、宇宙は完璧で無限に高い精度を持つ情報を含まれるでしょう。しかしそれは重要ではなく、その someday は決して来ることはないからです。「ここでの潜在的無限は本当に無限の時間を待っていることであり、これは現実とは関係ありません」とジーシンは言います。重要なのは、もはや無限がデフォルトの仮定ではないことです。

これらの物理学に基づく無限への挑戦は、超有限主義の数学家たちを喜びに導きます。彼らは自分の数学がより真実な現実記述であることを証拠として掲げます。2025 年の会議で、キャロルによる宇宙が本当に無限か「単に非常に大きいだけか」という講演は、コロンビア大学のホールではある種のセレブリティになりました。しかし彼は、証明の責任は依然として無限を疑う者たちにあると警告します。もしあなたが実験的に物理宇宙が実際に有限であることを証明できれば、最も熱烈な高位無限支援者も一瞬止まり、考え直すでしょう。集合論が実際の無限の塔を許容するという事実から、その整合性についても疑問に思うかもしれません。これは定期的にやるべき健全なことです。

しかしこれが起きた場合でも、無限を研究・使用する集合論者は、物理と数学が別々の道に進む必要があるかもしれないと言いつつ、無影響で仕事を続ける権利を持っています。数学と物理学が同じものを書くことを必要とはしません（多くの人がそう信じていますが）。そして無限はより大きなプラトン的意味で生き残るかもしれません。

しかし、その実験が逆の結果——自然に無限が存在する— を証明した場合、超有限主義者は交渉の余地を大幅に失います。「実際の物理世界に無限が含まれているのであれば、超有限主義者になるのは難しいでしょう」とキャロルは言います。

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超有限の再ブランディング

「超有限主義者にとっては悪い気分を感じています。彼らを理解することなく軽視されているからです」と、キャロルは後に私に言いました。「一方、超有限主義者は自らの製品を十分にマーケティングしていないのです」。

数学の世界では、より良いマーケティングキャンペーンはおそらく、ネルソンが探したような一貫した理論——無限を除外するが有用な数学を行うのに十分な強力な形式規則のセット——のように見えるでしょう。

アイデアに欠乏はありません、クラーク＝ドーン氏は言います——ただし、それらを発展させることに自らの早期キャリアを賭ける大学院生に欠けがあるかもしれません。彼のところでは、ニューヨークでの集まりは変化の兆候であり、人々が再度検討することに好奇心を持っていること、そして潜在的な反撃への恐れがそれほど大きくないことを示しています。「人々はその視点について話し合い、それを真剣な基礎の上に置く方法について積極的に考えようとしています」と彼は言います。

多くの数学家はこれらすべてを生活しています。数学全体を包摂する形式理論は彼らの関心事ではありません。彼らは機能することに興味があり、特定の問題を解き、証明を構築します。基礎的な問い——数は物理現実を超えて存在するのか？数学は発明のプロセスか発見のプロセスか？——は少し恥ずかしい感じがし、数学家たちが一日に危機状態で目を覚ました時にのみ行う種類のものです。

しかし、働く数学家はサイレンberger と共通の地盤を見つけられるかもしれません。彼もまた集合論学者や哲学者の議論に対して無関心です。彼の手法は冷酷な実用性であり、数学を部品ごとに解体して何が必要かを問いかけるものです。おそらく、我々はあまりにも多くのことを仮定し、無限をデフォルトとして過剰に扱い、幻想への信仰を置いたと言えるでしょう。自分が超有限主義者と宣言する必要はありませんが、真実の選択肢のメニューに加えることで満足感を得ることができます。

サイレンberger は 2010 年の BBC ドキュメンタリーで自分自身を引用することに好きです。彼はこれを自らの「15 秒の名声」と考えます。「無限が存在するかどうかはわかりません；神が存在するかどうかはわかりません」と言いました。「しかし数学には、無限でも神でも場所があってはならない」。これは Hugh Woodin——高位無限を探索した最も勇敢な探求者の一人であり、有名な集合論学者——に対して非同期で行われた返答です。彼はサイレンberger に、無限の広がりの美しさを空に見上げることができず困っていると同情して言いました。「私は彼に、進むために無限というオピオイドが必要だとして同情します」とサイレンberger は言いました。「木や地面には多くの美しさがあります。フィクションを見上げる必要はありません」。

「したがって我々は互いに同情しています」と彼は言いました。相手が選択した信仰の世界で閉じ込められていると感じることについて、彼らが互いに同情しているのです。