代数的位相学：結び目・リンク・ブラッド（結び目、リンク、ブレード）

日本語訳:

概要：
結び目は (\mathbb{R}^3) における単純閉曲線で、通常はポリゴン状曲線として平易に埋め込まれ、Alexander の角鋸球のような野生的埋め込みを避けます。二つの結び目は、(\mathbb{R}^3) の向き保存ホモトピー写像が一方をもう一方に移すときに等価です。

一般位置点から結び目を投影すると結び目図形が得られます。Reidemeister は、二つの図形が同じ結び目を表すためには、有限個の Reidemeister 移動（型 I, II, III）で互いに変換できることを証明しました。無結び目は交差点を持たない図形によって特徴付けられ、連結和の単位元として機能します。

すべての結び目は素性結び目の有限個の和へ一意に分解されます。これは Seifert 面を通じた genus の加法性から従います。Seifert 表面 (F) がリンクで囲むとき、genus は (g=(1-\chi(F))/2) となり、連結和の下で加算され、無結び目にのみゼロになります。

Kauffman ブラケット (\langle D\rangle) は各非向き付き図形 (D) に対し変数 (A) の Laurent 多項式を割り当てます。これは Reidemeister II/III の下で不変ですが、I では不変ではありません。向き付きリンク (L) に対しては、任意の図形の回転数 (w(D)) がジョーンズ多項式 [ V_L(t)=(-A)^{-3w(D)},\langle D\rangle \quad\text{with } t=A^{-4}, ] を与えます。これは (t) の Laurent 多項式です。

リンクはその補集合の基本群が自由であるときにのみ平凡です。braid 群 (B_n) は生成元 (s_i;(i=1,\dots,n-1)) をもち、関係 (s_is_j=s_js_i)（(|i-j|>1)）および (s_is_{i+1}s_i=s_{i+1}s_is_{i+1}) を満たします。すべてのリンクはある braid の閉包として表せます（Alexander 定理）。最後に、結び目群—結び目補集合の基本群—は完全不変量であり、Gordon–Luecke は結び目がその補集合によって一意に決定されることを証明しました。

結びつきは、ユークリッド3次元空間 (E^{3}) における単純閉曲線（(S^{1}) のホモトピー写像）です。
二つの結びつきを同値と呼ぶのは、方向を保った (E^{3}) 上の自己ホモトピーが存在し、一方の結びつきを他方に送る場合です。

5.1 野生的埋め込み

シュンフライズ（Schoenflies）は1908 年に、平面上の単純閉曲線から単位円 (S^{1}) へのホモトピーがあれば、その拡張を平面全体へのホモトピーへ延長できることを証明しました。
しかし高次元では同様の結果は成り立ちません。

野生的埋め込みの例：

(E^{3}) 上における単位区間のホモトピー像で、余剰が単純連結でないもの。
アレクサンダーの角鋸球（horned sphere）：(S^{2}) のホモトピー像で、その余剰が単純連結でないもの。
アンツォーネのネックレス（Antoine’s necklace）：Cantor 集合（コンパクト・全く離散）の (E^{3}) 上へのホモトピー像で、余剰が単純連結でないもの。

(図は Hocking & Young, Topology, pp. 176–177 から。)

5.2 結びつき図とリデイメーター運動

(E^{3}) 内の結びつきを、一般位置にある一点から平面 (E^{2}) に射影し、三重交差が起こらないようにして、各交差点で上回るか下を通るかを示します。
得られる図は、同値クラスまで結びつきを決定します。

リデイメーター（Reidemeister）は次のことを証明しました：
二つの図が同じ結びつきを表すには、タイプ I・II・III のリデイメーター運動の連鎖で一方を他方に変形できるかどうかだけで判定できる。
タイプ I には鏡像（タイプ I′）があります。
交差点が全くない図は 無結びつき（unknot） のみです。

5.3 素結びつきとセイフェルト面

二つの向きを持った結びつきの連結和は、各結びつきを一点で切り離し、その端を接続することで得られます。
無結びつきはこの演算に対して単位元として機能します。

結びつき (K) が素（prime）であるとは、非自明な二つの結びつきの連結和として表せないことです（どちらも無結びつきではない）。
すべての結びつきは一意的に素結びつきの積分解を持ちます。

セイフェルト面 は、リンクの境界となるコンパクトで向きを持った (S^{3}) 内の表面です。
構築手順：リンクに向きを付け、図を作り、各交差点を「上側が左回転」するような非交差状態へ置き換えると、得られた閉路集合は互いに離れた円盤の境界になります。
その後、各置換交差点で半ねじれストリップを貼り付けることで、元のリンクを境界に持つ向きを持った表面が完成します。

結びつき (K) の genus（階数） (g(K)) は、すべてのセイフェルト面の中で最小の genus です。
次の性質を満たします：

(g(K_{1}# K_{2}) = g(K_{1}) + g(K_{2})),
(g(K) \ge 0), 等号は (K) が無結びつきであるときに成り立ちます。

連結したセイフェルト面 (F) に対しては
(g(F) = (1-\chi(F))/2).

5.4 カタログ

交差点数が最大 8 の素結びつきを以下に示します（平面上で描かれています）。
(データは G. Burde, Knoten, Jahrbuch Ueberblicke Mathematik, B.I. Mannheim, 1978, pp. 131–147; 9 交差まで。)
10 交差までの表は D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish, 1976 に掲載されています。

最後の三つを除き、すべて 交差が交互に上回り下を通る（alternating）です。

5.5 不変量 – Kauffman ブラケットとジョーンズ多項式

結びつき (K) の基本的な不変量は (\pi_{1}(E^{3}\setminus K)) です。
C. Gordon & J. Luecke は、結びつきはその余剰で決定されると証明しました。

Kauffman ブラケット（unoriented link diagram (D) に対して）：

(D) が単一のループなら (\langle D\rangle = 1).
(D) が (D') と独立したループからなる場合は
(\langle D\rangle = (-A^{2}-A^{-2}),\langle D'\rangle).
それ以外の場合、交差点を解消して得られる図 (D')（上側が左回転）と (D'')（上側が右回転）に対し
[ \langle D\rangle = A,\langle D'\rangle + A^{-1},\langle D''\rangle . ] このブラケットはリデイメーター運動 II・III の下で不変ですが、タイプ I では不変ではありません。

向き付きリンク図 (D) に対して、各交差点に符号 (+1 は上側が左から来る場合、-1 はそれ以外) を与え、その総和を writhe (w(D)) と呼びます。

ジョーンズ多項式：リンク (L) に対し
[ V(L) = (-A)^{-3,w(D)},\langle D\rangle , ] ここで (D) は任意の向き付き図です。
(t=A^{-4}) と置けば、成分数が奇数（特に結びつき）の場合には (V(L)) は (t) の多項式になります。

5.6 リンク

リンク は (E^{3}) における単純閉曲線の不交差集合です。
各成分は結びつきであり、他と絡み合っている場合があります。
小さな例を下に示します。

(同じ余剰空間を持つが非同値なリンクも存在すること – C.C. Adams, The Knot Book, W.H. Freeman, 1994 を参照。)

リンクが 無理（trivial） であるのは、その余剰の基本群が自由群になるときです。

5.7 バラード

(n) 本のストランドからなるバラードは、点 ((0,j,1))（(j=1,\dots,n)）を ((0,j,0)) に結ぶ (E^{3}) 内のアークで構成され、各平面 (z=c)（(0<c<1)）とちょうど一度だけ交差します。
基本的なバラード (s_i) はストランド (i) と (i+1) を交換し、(i) 番目のストランドが上回るように配置されます。他のストランドは直下へ向かいます。

バラードは連結（concatenation）で合成され、すべてのバラードは（同値なものとして）基本的バラードの積で表せます。
バラード群 (B_n) は生成子 (s_i) （(i=1,\dots,n-1)）と以下の関係式を持ちます：

(|i-j|>1) のとき (s_i s_j = s_j s_i),
(s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1}).

(B_n) は適切な位相空間（Fox によって）上の基本群です。
アレクサンダー定理 は、すべてのリンクがバラードから得られる結合（開始点と終了点を同一にすることで）に同値であることを述べています。