Lie groups are crucial to some of the most fundamental theories in physics

序章

数学において、群と呼ばれる至る所に存在する対象は、まるで魔法のような力を発揮します。
数少ない規則だけで定義されながら、群は驚くべき多様な謎を解明する手助けをしてくれます。たとえば、どの多項式方程式が解けるか、あるいは結晶中の原子配置がどうなるかを示すこともあります。

群にはさまざまな種類がありますが、その中でもひと際目立つものがあります。1870年代初頭に確認されたリーマン・グループ（英語では「Lie group」）は、物理学の最も根本的な理論に不可欠であり、数論や化学にも永続的な貢献をしてきました。その成功の鍵は、群論と幾何学、線形代数が融合されている点にあります。

一般に「群」とは、ある演算（例えば足し算や掛け算）が定義された集合です。この演算で二つの要素を組み合わせると第三の要素が生まれます。多くの場合、群は図形の対称性—その図形を変えても形が変わらない変換—として考えることができます。

正三角形の対称性を見てみましょう。そこには六つの要素からなる群があります（ここでは360度回転で元に戻るため、一次回転は数えません）。
これらの対称性は離散的です：個別に適用する必要がある区切られた変換の集合です。
一方、連続対称性も研究できます。フリスビーを1.5度、15度、150度回転させても、実際には任意の実数角で回転でき、同じ姿に見えます。正三角形と違い、無限に多くの対称性があります。

これらの回転は SO(2) と呼ばれる群を構成します。「反射だけでも OK だが、それは一つの操作しかない」とジュネーブ大学の数学者アントン・アレクセーヴは言います。
しかし SO(2) は「一括で無数の操作」を備えている—実際には可算不可限に多くあります。

フリスビーを回転させる各操作は、座標平面上の一点として表すことができます。すべての可能な回転を描画すると、円を構成する無数の点が現れます。この「追加的な性質」が SO(2) をリーマン・グループにしている―つまり滑らかで連続的な形状（多様体）として可視化できるようになっています。他のリーマン・グループはドーナツ表面、あるいは高次元球、またはもっと奇妙な構造—空間中のボールを回転させる全操作群 SO(3) は、六次元に広がる球と円の絡み合った形です。

どんな具体的形であれ、リーマン・グループの滑らかな幾何学は、その群としての地位を高める秘訣です。

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1. 転げ回りながら

マリウス・ソフス・リーが数学に入ったのは時間がかかりました。1850年代、ノルウェーで育ち、高校卒業後は軍人になることを夢見ていました。しかし視力不良のためその夢を断念し、大学へ進学。天文学と力学を学び、物理・植物学・動物学に短期間手を出した後、最終的に幾何学という数学へ惹かれました。

1860年代後半、彼はドイツで学び、その後フランスへ。1870年、パリにいるときにフランス-プロイセン戦争が勃発します。すぐに国を離れようとしたものの、ドイツ語で書かれた幾何学ノートは暗号メッセージと誤解され、スパイとして逮捕されます。1か月後に釈放され、再び数学へ戻ります。

特に彼は群を研究し始めました。40年前、エヴァリスト・ガロワは一種の群を用いて多項式方程式の解を理解しました。リーは同じ手法で「微分方程式」を扱いたいと考えたのです。しかし期待した成果には至りませんでしたが、彼は研究している群自体に興味深い性質があることに気づきました。そしてリーマン・グループが誕生しました。

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2. 多様体としての価値

リーマン・グループの多様体構造は、数学者にとって計り知れない恩恵をもたらします。群を理解する際に、幾何学や微積分のすべての道具が使えるからです。他の群では必ずしもそうとは限りません。というのも、多様体には「小さな領域を拡大してみると曲線は消え、まるで平面に見えてしまう」という性質があるためです。地球表面を歩いている私たちにとって、球は局所的に平らに見えるのと同じです。

SO(2) を例に取ると、全ての回転は円上の点で表されます。ここでは「極めて小さい回転」、例えば1度未満を考えましょう。この範囲では SO(2) の曲線はほぼ見えません。フリスビーが1度以内に回転すると、縁のある任意の点はほぼ直線的な軌道を描きます。そのため数学者は「円に接する単一点で接触する直線」、すなわち接線を近似として使います。この接線が リーマン代数（Lie algebra） です。

この特徴は非常に便利です。曲線よりも直線のほうが計算しやすいからです。また、リーマン代数自体には「ベクトル」と呼ばれる矢印的要素があり、元の群についての計算を簡略化できます。「世界で最も単純な数学は線形代数である」という言葉をかけたマサチューセッツ工科大学（MIT）のデイビッド・ヴォガンはこう語ります。

二つの異なる群を比較したいとき、各々のリーマン代数が重要性を簡潔に示すため、この作業が格段に容易になります。スイス連邦工科大学チューリッヒ校（ETH）のアルレサンダ・イオツィは「リーマン群とその代数の相互作用は、絶対的に膨大な結果をもたらす」と述べています。

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3. 自然界で語る言葉

自然界にはリーマン群が捉える連続対称性が溢れています。重力を例にとれば、太陽の重力は地球との距離だけに依存し、どちら側にあるかは関係ありません。したがって「SO(3) による対称性」と言えます。つまり、三次元空間で回転しても変わらない性質です。

実際、重力・電磁気・原子核を結びつける強い力を含むすべての基本的な相互作用はリーマン群対称性によって定義されています。この定義により、物理学者は「陽子が必ず中性子とペアになる理由」や「原子エネルギーが離散的である理由」といった基礎的な謎を説明できます。

1918年、エミー・ノートル形の数学者はリーマン群が物理学における保守則の根底にあることを示し、世界を驚かせました。彼女は「任意のリーマン群で記述される対称性は対応する保存則を持つ」と証明しました。例えば、「時間平移対称性」（実数全体からなるリーマン群）は、今日も昨日と同じ物理法則が適用されることを意味し、宇宙のエネルギー保存に直結します。アレクセーヴは「今でも非常に驚くべき結果だ」と語っています。

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4. 現代への影響

今日もリーマン群は数学者と物理学者にとって不可欠なツールです。「定義はその力が強いため、実際の世界で生き続ける。多くの興味深い例があり、何かを考える良い枠組みになる」とヴォガンは語ります。「対称性は至る所に存在し、それこそがこの分野の本質です」。